Tích Phân

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Cho hàm số $f(x)$liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $\left[ a;b \right]$.
-Hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định trên đoạn $\left[ a;b \right]$)  của hàm số  kí hiệu là $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}$
-Ta còn dùng kí hiệu $\left. F(x) \right|_{a}^{b}$để chỉ hiệu số $F(b)-F(a)$.
Vậy $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\left. F(x) \right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$
-Ta gọi $\int\limits_{a}^{b}{{}}$là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, $f(x)dx$là biểu thức dưới dấu tích phân và $f(x)$là hàm số dưới dấu tích phân.
- CHÚ Ý: Trong trường hợp a= b, hoặc a>b, ta quy ước: $\int\limits_{a}^{a}{f(x)dx=0};\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int\limits_{b}^{a}{f(x)dx}$
2.Tính chất:
$\int\limits_{a}^{b}{kf(x)dx}=k\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}$                                      $\int\limits_{a}^{b}{\left[ f(x)\pm g(x) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\pm \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$ 
$\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f(x)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f(x)dx}$ \[(a<>
*Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau:
-Nếu $f(x)\ge 0$trên $\left[ a;b \right]$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx\ge 0}$
-Nếu $f(x)&gt;g(x)$trên $\left[ a;b \right]$ thì $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}\ge \int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

3. Phương pháp tính tích phân
*Phương pháp phân tích, đưa về tích phân đơn giản
– Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối, 1 số hàm lượng giác đơn giản.
– Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các hàm thường gặp
*Phương pháp dùng vi phân để tính tích phân
Ta có thể trình bày gọn bằng công thức vi phân $dt\left( x \right)=t\left( x \right)dx$. Cách làm này ngắn gọn, hiệu quả trong rất nhiều bài toán tích phân.
                   $\int\limits_{{}}^{{}}{f\left[ t(x) \right]dt(x)=\left. F\left[ t(x) \right] \right|_{a}^{b}}$
* Phương pháp tích phân từng phần
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên K và 2 số thực a, b thuộc K, ta có:
$\int\limits_{a}^{b}{u(x)v&#x27;(x)dx=}\left. \left[ u(x)v(x) \right] \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{v(x)u&#x27;(x)dx}$. Viết gọn $\int\limits_{a}^{b}{udv}=\left. \left[ uv \right] \right|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{vdu}$
* Phương pháp biến đổi số dạng 1
– Đặt $t=t\left( x \right)$với là x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
+ Bb1: đặt $x=x\left( t \right),$suy ra $dt=t&#x27;(x)dx$
          đổi cận $x=a\Rightarrow t=t(a)=\alpha ,x=b\Rightarrow t=t(b)=\beta$
+ Bb2: biến đổi $f(x)$dx thành $g(t)dt$
+ Bb3: Khi đó $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm a}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm a} \right|+C}$. Giả sử $G(t)$ là một nguyên hàm của $g(t)$thì $I=\left. G(t) \right|_{\alpha }^{\beta }$
* Phương pháp biến đổi số dạng 2

– Đặt $t=t\left( x \right)$với là x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.
+ Bb1: đặt $x=x\left( t \right),$suy ra $dx=x&#x27;(t)dt$, đổi cận $x=a\Rightarrow t=\alpha ,x=b\Rightarrow t=\beta$
+ Bb2: biến đổi $f(x)$dx thành $g(t)dt$
+ Bb3: Khi đó $\int{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm a}}dx=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm a} \right|+C}$. Giả sử $G(t)$ là một nguyên hàm của $g(t)$thì $I=\left. G(t) \right|_{\alpha }^{\beta }$

4.Một số lưu ý về phương pháp đổi biến số
- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến dạng 2, cách đặt  $t=t(x)$hoặc $x=x(t)$rất đơn giản, chẳng hạn: $t=-x,t=\frac{\pi }{2}-x,t=\pi -x,...$Các biến đổi thường gặp:
- Đổi biến với I để có $I=\alpha +\beta .I\Rightarrow I=\frac{\alpha }{1-\beta }$thì $\alpha ,\beta \in R,\beta \ne 1.$
- Đổi biến với I ta có $2I=I+I=K\Rightarrow I=\frac{1}{2}K$ với $K$là tích phân đơn giản.
- Biến đổi I thành tổng $I={{I}_{1}}+{{I}_{2}},$ thực hiện phép biến đổi với ${{I}_{1}}$ hay ${{I}_{2}}$ ta được ${{I}_{1}}=-{{I}_{2}}$hay ${{I}_{1}}+{{I}_{2}}=K$ với $K$là tích phân đơn giản.
- Tích phân lẻ $I=\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx}$ với a>0 $f(x)$ là hàm lẻ trên đoạn $\left[ -a;a \right]$ tức là $f(-x)=-f(x),\forall x\in \left[ -a;a \right]$

- Tích phân chẵn $I=\int\limits_{-a}^{a}{\frac{f(x)}{{{k}^{x}}+1}}dx$, với a>0, $k\in R$, $f(x)$ là hàm chẵn trên đoạn $\left[ -a;a \right]$ tức là $f(-x)=f(x),\forall x\in \left[ -a;a \right]$

- Tích phân $I=\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}$ với $a=\pi ,\frac{\pi }{2},...$ và $f(x)$ có chứa các hàm lượng giác

B. BÀI TẬP

I.Ví dụ
Vd1: Cho phương trình $\frac{1}{x}\int\limits_{1}^{x}{\ln tdt=\frac{x\ln x-3}{x-1}},x&gt;1$, phương trình có nghiệm là :
A.$x=4$              B.$x=3$               C.$x=\frac{7}{2}$                  D. Kết quả khác.
Giải: Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có

$\int\limits_{1}^{x}{\ln tdt=x\ln x-x+1=\frac{x\ln x-x+1}{x-1}}=\frac{x\ln x-3}{x-1}\Rightarrow x=4$
Đáp án A

Vd2: Xác định số a dương $\int\limits_{0}^{a}{(x-{{x}^{2}})dx}$ để đạt giá trị lớn nhất
A.$a=1$               B.$a=\frac{1}{2}$                  C.$a=2$               D.$a=\frac{3}{2}$

Giải: Sử dụng casio tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(a)$, có $f&#x27;(a)=a-{{a}^{2}}(a&gt;0)$
Đáp án A

Vd3: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất, thõa mãn $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{2x+k}}\ge 0$
A.$k=3$              B. $k=4$             C.$k=1$               D.$k=2$
Giải: $\forall k\in {{N}^{*}},\forall x\in \left[ 0;1 \right],2x+k&gt;0$do đó $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{2x+k}}&gt;0,\forall k\in {{N}^{*}}$. Suy ra số nguyên dương k nhỏ nhất thõa mãn là $k=1$
Đáp án C

Vd4: Tìm $x&gt;1$ biết rằng $\int\limits_{1}^{x}{\ln tdt=1}$
A.$x=e$               B.$x={{e}^{2}}$          C.$x={{e}^{3}}$          D.$x=e+1$
Giải:
Đặt

Vậy x thõa mãn

Đáp án A

Vd5: Tính tích phân $I=\int\limits_{\frac{1}{a}}^{a}{\frac{({{x}^{4}}+{{x}^{-4}})lnxdx}{x},a&gt;0}$
A.$1$                            B.$0$                            C.$2\operatorname{lna}$                D.$\frac{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}{a}\ln a$ 

Giải: Đặt $u=\frac{1}{x}\Rightarrow dx=-\frac{du}{{{u}^{2}}};\operatorname{lnx}=-lnu$ đổi cận

Vậy $\int\limits_{a}^{\frac{1}{a}}{\frac{\left( \frac{1}{{{u}^{4}}}+{{u}^{4}} \right)\left( -\ln u \right)\left( -\frac{du}{{{u}^{2}}} \right)}{\frac{1}{u}}}=\int\limits_{a}^{\frac{1}{a}}{\frac{\left( {{u}^{-4}}+{{u}^{4}} \right)\ln udu}{u}}=-\int\limits_{\frac{1}{a}}^{a}{\frac{\left( {{u}^{-4}}+{{u}^{4}} \right)\ln udu}{u}}=-I\Rightarrow I=0$

Đáp án B
II/BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{x}}(1+x)}{1+x{{e}^{x}}}}dx$
A.$I=\ln \left( 1+{{e}^{2}} \right)$  B.$I=\ln \left( {{e}^{2}}-1 \right)$           C.$I=\ln \left( 1+e \right)$          D.$I=\ln \left( e-1 \right)$
Câu 2: Tìm x $\int\limits_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{x}{\frac{dt}{t\sqrt{{{t}^{2}}-3}}}=\frac{\pi }{12}$

A.$x=2\sqrt{2}$           B.$x=3$                        C.$x=2$               D.$x=2\sqrt{2}$
Câu 3: Biết tích phân $\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}}dx=a-\frac{b}{e}(a,b\in N)$. Giá trị $a+b$
A. 1                      B.2                                 C.3                       D.4
Câu 4: Biết tích phân $\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin }x{{\cos }^{4}}xdx=\frac{a\pi }{b}(a,b\in N)$. Giá trị $a+b$
A. 10          B. 6                                C.15                     D.16
Câu 5: Biết $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\text{co}{{\text{s}}^{3}}x}{1+c\text{osx}}}dx=\frac{a\pi -b}{c}(a,b,c\in N)$. Giá trị $a+b+c$
A.10                     B.11                               C. 15           D. 16
Câu 6: Biết $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{4}}}xdx=\frac{\pi }{a}-\frac{b}{c}(a,b,c\in N)$. Giá trị $a+b+c$
A. 10          B.7                                 C.9                       D. 4
Câu 7: Biết $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}dx=\sqrt{a}\ln \left( 2+\sqrt{3} \right)-b,(a,b,c\in N)$. Giá trị $a+b+c$
A. 10          B.7                                 C. 15                    D.14
Câu 8: Biết $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{xdx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x}}=\frac{a\pi }{6\sqrt{3}}-\frac{\ln 3}{b}(a,b\in N)$. Giá trị $a+b$
A. 10                    B. 7                                C. 15                    D. 77
Câu 9:Biết $\int\limits_{2}^{4}{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}\ln \frac{c}{d},(a,b,c,d\in N)$. Giá trị $a+b+c+d$
A. 10          B. 6                                C. 15           D. 77
Câu 10:Gọi S là tập hợp số nguyên dương k thõa mãn điều kiện \[\int\limits_{1}^{e}{\ln \frac{k}{x}}dxS
A. $S=\left\{ 1;2;3 \right\}$    B. $S=\left\{ 1;2 \right\}$                           C. $S=\left\{ 2;3 \right\}$               D.

Đáp án

Bài viết gợi ý: