THỂ
TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/LÝ
THUYẾT
1.Các
công thức tính thể tích
+ Thể tích khối hộp chữ nhật: $V=abc$
+ Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B và chiều cao là
h: $S=\frac{1}{3}Bh$
+ Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao
là h: $S=Bh$
2.
Các hệ thức lượng trong tam giác:
a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có các hệ thức sau:
+ \[AB.\text{ }AC\text{ }=\text{ }BC.AH=2{{S}_{ABC}}\]
+ \[A{{B}^{2}}=\text{ }BH.BC~~;A{{C}^{2}}=\text{ }CH.CB\]
+ \[A{{H}^{2}}=\text{ }HB.HC~\]
+ $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$
+ $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$ $\cos \alpha =\frac{AC}{BC}$
II/ VÍ DỤ
VD 1: Cho
hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB
bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
C.${{a}^{3}}\sqrt{2}$
D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
HD:
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác SAB vuông tại A
$SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$
${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.AB.AD=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$
Đáp án A
VD 2: Cho
hình chóp tam giác S.ABC có
đáy ABC là tam giác
vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích
của khối chóp S.ABC
A.$\frac{{{a}^{3}}}{2}$
B.$\frac{{{a}^{3}}}{6}$
C.$\frac{{{a}^{3}}}{3}$
D.$\frac{{{a}^{2}}}{6}$
HD:
${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{6}.SA.BA.BC=\frac{{{a}^{3}}}{6}$
Đáp án B
VD 3: Cho
hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$
D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$
HD:
Ta có $\left( SBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD$ ; $BD\bot
\left( SAC \right)$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right)
\right)=\angle SOA={{60}^{o}}$
$\tan {{60}^{o}}=\frac{SA}{OA}=\sqrt{3}\Rightarrow
SA=OA\sqrt{3}=\frac{1}{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow
{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$
Đáp án C
VD 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=
BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B
với mặt phẳng (ABC) bằng 60o.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
theo a.
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
HD:
$\tan
A'BA=\frac{AA'}{AB}=\tan {{60}^{o}}=\sqrt{3}\Rightarrow AA'=AB\sqrt{3}$
${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=AB\sqrt{3}.\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
Đáp án D
VD 5: Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA=\[\sqrt{3}\]; góc giữa các cạnh SA, SB,
SC với mặt phẳng (ABC) bằng \[{{60}^{0}}\]
A.$\frac{3{{a}^{3}}}{4}$
B.$\frac{9{{a}^{3}}}{4}$
C.$\frac{{{a}^{3}}}{4}$
D.${{a}^{3}}$
HD:
Gọi M là trung điểm của BC, I là trọng tâm
tam giác ABC
Khi đó $AI=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=a$
\[\tan
SAI=\frac{SI}{AI}=\sqrt{3}\Rightarrow SI=AI\sqrt{3}=a\sqrt{3}\]
${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SI.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.SI.\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{{{\left(
a\sqrt{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3{{a}^{3}}}{4}$
Đáp án A
III/ BÀI TẬP
TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I la trung điểm của
cạnh BC. Tính thể tích khối chóp ${{S}_{ABI}}$
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}$
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{24}$
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{8}$
D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{4}$
Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng$ABCA'B'C'$ có
đáy ABC là tam giác vuông tại tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính thể tích khối tứ diện IABC
A.$\frac{4{{a}^{3}}}{9}$
B.$\frac{4{{a}^{3}}}{3}$
C.$\frac{2{{a}^{3}}}{9}$
D.$\frac{{{a}^{3}}}{3}$
Câu 3: Cho
hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC = SD. Biết AB = 3a, BC =4a và\[\widehat{SAO}=\text{
}{{45}^{o}}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A.$8{{a}^{3}}$
B.$5{{a}^{3}}$
C.${{a}^{3}}$
D.$10{{a}^{3}}$
Câu 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a
và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc ${{60}^{o}}$. Tính thể tích của khối
lăng trụ.
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
D.${{a}^{3}}\sqrt{3}$
Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$
có B’B =a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng ${{60}^{o}}$; tam giác ABC vuông tại C và $\widehat{BAC}={{60}^{o}}$.
Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên
mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC
A.$\frac{3{{a}^{3}}}{208}$
B.$\frac{3{{a}^{3}}}{104}$
C.$\frac{9{{a}^{3}}}{208}$
D.$\frac{{{a}^{3}}}{208}$
Câu 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp đáy,
SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{18}$
D.${{a}^{3}}\sqrt{5}$
Câu 7: Cho
hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thanh vuông tại A và D;
AB=AD=2a, CD=a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o.
Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mp (SBI) và (SCI) cùng vuông
góc với mp (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
A.$\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$
D.$\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}$
Câu 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a
và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc ${{60}^{o}}$. Tính thể tích của khối
lăng trụ.
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
D.${{a}^{3}}\sqrt{3}$
ĐÁP ÁN
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
B |
A |
D |
B |
C |
A |
B |
B |
