Nguyên Hàm

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM

A/LÝ THUYẾT

I. Nguyên hàm và tính chất:

1.Nguyên hàm:
*Định nghĩa:
Cho hàm số f (x) xác định trên K
Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F (x)’=f (x) với mọi x $\in$ K.
* Định lý 1: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G (x) = F (x) + C, cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K.
*Định lý 2: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số.
$\to$ Hai định lý trên cho thấy: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số trên K thì $F(x)+C,C\in R$ là họ của tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K. Kí hiệu $\int{f(x)dx=F(x)+C}$
CHÚ Ý: Biểu thức $f(x)dx$ chính là vi phân của nguyên hàm $F(x)$ của f (x) vì $F(x)=F'(x)dx=f(x).$

2. Tính chất nguyên hàm:
*Tính chất 1: $\left( \int{f(x)dx} \right)'=f(x)$ và $\int{f'(x)dx=f(x)+C}$
*Tính chất 2: $\left( k\int{f(x)dx} \right)'=k\left( \int{f(x)dx} \right)'=kf(x)$ $\to$ $\int{kf(x)dx=k\int{f(x)dx}}$
*Tính chất 3: $\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]}dx=\int{f(x)dx\pm \int{g(x)dx}}$

3. Sự tồn tại nguyên hàm:
*Định lý 3: Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có đạo hàm trên $K$

4.Các công thức nguyên hàm :

$\int{0dx=C}$	$\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}}+C(a>0,a\ne 1$ )
$\int{dx=x+C}$	$\int{\text{cos}}xdx=\operatorname{s}\text{inx}+C$ $\to$ $\int{\text{cos}(\text{ax+b)dx=}\frac{\text{sin(ax+b)}}{a}}+C$
$\int{{{x}^{a}}dx=\frac{1}{a+1}{{x}^{a+1}}+C(a\ne -1)}$ $\to \int{{{\text{(ax+b)}}^{n}}dx=\frac{{{\text{(ax+b)}}^{n+1}}}{a(n+1)}}+C$	$\int{\sin \text{x}dx=-co\text{s}}x+C$ $\to$ $\int{\sin (\text{ax+b)dx=-}\frac{\text{cox(ax+b)}}{a}}+C$
$\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left\| x \right\|+C}$ $\to$ $\int{\frac{1}{ax+b}dx=\frac{\ln \left\| ax+b \right\|}{a}+C}$	$\int{\frac{1}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x}}dx=t\text{anx+C}$
$\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$	$\int{\frac{1}{\operatorname{s}\text{i}{{\text{n}}^{2}}x}dx=-\cot x+C}$
$\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx=-\frac{1}{x}+C$ $\to \int{\frac{1}{{{\left( ax+b \right)}^{2}}}dx}=-\frac{1}{a\left( ax+b \right)}dx$	$\int{\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C}$
$\int{\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}$	Đặc biệt $\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm a}}=\ln \left\| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm a} \right\|}+C$ $\int{\frac{xdx}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm a}}=\sqrt{{{x}^{2}}\pm a}}+C$

CHÚ Ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm:

1. Phương pháp đổi biến số:
*Định lý 1: Nếu $\int{f(u)du=F(u)+C}$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int{f(u(x))u'dx=F(u(x))+C}$
Hệ quả: $\int{f(\text{ax+b)dx}}=\frac{1}{a}F(\text{ax+b)}+C(a\ne 0)$
CHÚ Ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến mới $u(u=u(x))$ thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
*Định lý 2: Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên K thì $\int{u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int{u'(x)v(x)dx}}$

CHÚ Ý: Vì $v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du$ , nên đẳng thức còn được viết ở dạng $\int{udv=uv-\int{vdu}}$
B Ví dụ:
Vd1: Tính nguyên hàm của $\int{{{(2x+1)}^{2}}dx}$
A. $\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{6}+C$

B. $\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{3}+C$

C. $\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{2}+C$

D. $\frac{2{{(2x+1)}^{3}}}{3}+C$
Giải: $\int{{{(2x+1)}^{2}}dx}=\frac{1}{2}.\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{3}+C$
Đáp án A
Vd2: Tính nguyên hàm của $\int{\frac{1}{2x+1}dx}$
A. $2\ln \left| x+1 \right|+c$

B. $ln\left| x+1 \right|+c$

C. $\frac{\ln \left| 2x+1 \right|}{2}+c$

D. $2\ln \left| 2x+1 \right|+c$
Giải : $\int{\frac{1}{2x+1}dx}=\frac{\ln \left| 2x+1 \right|}{2}+C$
Đáp án C

Vd3:Tính nguyên hàm của $\int{\frac{\text{cosxdx}}{(3\sin x-1)}}$
A. $\frac{\ln \left| 3\sin x-1 \right|}{6}+C$

B. $\frac{\ln \left| 3\sin x-1 \right|}{3}+C$

C. $\frac{\ln \left| \sin x-1 \right|}{3}+C$

D. $\frac{\ln \left| 3\sin x-1 \right|}{2}+C$

Giải :

$\int{\frac{\text{cosxdx}}{(3\sin x-1)}}=\int{\frac{d\operatorname{sinx}}{(3\sin x-1)}}$

Đặt $t=\operatorname{s}\text{inx}$ . Lúc này nguyên hàm trở thành $\int{\frac{dt}{(3t-1)}=\frac{\ln \left| 3t-1 \right|}{3}}+C=\frac{\ln \left| 3\operatorname{s}\text{inx}-1 \right|}{3}+C$
Đáp án B

Vd4: Tính nguyên hàm của $\int{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-1}dx}$

A. $\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C$

B. 2 $\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C$

C. $-\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C$

D. $-2\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C$

Giải:

Ta thấy: ${{e}^{x}}dx=d({{e}^{x}})$ do đó $\int{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-1}dx}=\int{\frac{1}{{{e}^{x}}-1}d({{e}^{x}})}$

Đặt $t={{e}^{x}}$ .Lúc này nguyên hàm trở thành $\int{\frac{1}{t-1}d(t)=ln\left| t-1 \right|}+C=\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C$
Đáp án A

Vd5: Tính nguyên hàm của $\int{\frac{dx}{4{{x}^{2}}-4x+1}}$
A. $\frac{\ln \left| x-1 \right|}{2}+C$

B. $\frac{\ln \left| 2x-1 \right|}{2}+C$

C. $\frac{3\ln \left| 2x-1 \right|}{2}+C$

D. $\frac{\ln \left| 2x-1 \right|}{3}+C$
Giải: $\int{\frac{(2x-1)dx}{{{(2x-1)}^{2}}}}=\frac{\ln \left| 2x-1 \right|}{2}+C$
Đáp án B

C. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho $F(x)={{x}^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\text{f(x)}{{\text{e}}^{2x}}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}$
A. $\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}=-{{x}^{2}}+2x+C}$

B. $\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}=-{{x}^{2}}+x+C}$
C. $\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}=-{{x}^{2}}-2x+C}$

D. $\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}=-2{{x}^{2}}+2x+C}$

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 sin x.
A. $\int{2\sin xdx=2\cos x+C}$

B. $\int{2\sin xdx=\operatorname{s}\text{i}{{\text{n}}^{2}}x+C}$
C. $\int{2\sin xdx=\operatorname{s}\text{in2}x+C}$

D. $\int{2\sin xdx=-2\operatorname{cosx}+C}$
Câu 3.Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = ${{7}^{x}}$
A. $\int{{{7}^{x}}dx={{7}^{x}}\ln 7+C}$

B. $\int{{{7}^{x}}dx=\frac{{{7}^{x}}}{\ln 7}+C}$
C. $\int{{{7}^{x}}dx={{7}^{x+1}}+C}$

D. $\int{{{7}^{x}}dx=\frac{{{7}^{x+1}}}{x+1}+C}$
Câu 4.Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?
A. $\int{\frac{dx}{x}=\ln x+C}$

B. $\int{{{x}^{a}}dx=\frac{1}{a+1}{{x}^{a+1}}+C(a\ne -1)}$
C. $\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$

D. $\int{dx=x+C}$
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $\text{f (x)= (2x+1}{{\text{)}}^{3}}$
A. $\frac{1}{8}{{(2x+1)}^{4}}+C$

B. ${{(2x+1)}^{4}}+C$
C. $2{{(2x+1)}^{4}}+C$

D. $\frac{1}{2}{{(2x+1)}^{4}}+C$

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số $\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x(1-\tan x)}}$
A. $-2\ln (1-\operatorname{tanx})+C$

B. $-\ln (1-\operatorname{tanx})+C$

C. $\ln (1-\operatorname{tanx})+C$

D. $2\ln (1-\operatorname{tanx})+C$

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số $\int{\frac{xdx}{3{{x}^{2}}-1}}$

A. $\frac{\ln \left| 3{{x}^{2}}-1 \right|}{6}+C$

B. $\frac{\ln \left| 3{{x}^{2}}-1 \right|}{3}+C$

C. $\frac{\ln \left| 3{{x}^{2}}-1 \right|}{2}+C$

D. $\frac{\ln \left| {{x}^{2}}-1 \right|}{6}+C$
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}$

A. $2{{e}^{\sqrt{x}}}+C$

B. ${{e}^{2\sqrt{x}}}+C$

C. $\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{2}+C$

D. ${{e}^{\sqrt{x}}}+C$
Câu 9: Nguyên hàm $\int{\frac{xdx}{{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1}=\frac{a}{b}\ln \left| \frac{{{x}^{2}}-c}{{{x}^{2}}-d} \right|+C(a,b,c,d\in N)}$ , giá trị $a+b+c+d$
A. 4

B. 6

C. 7

D. 5
Câu 10: nguyên hàm $\int{\frac{\sin xdx}{\left( \cos x-1 \right)\left( \cos x+1 \right)}}=\frac{c}{d}\ln \left| \frac{\cos x-a}{\cos x+b} \right|+C$ ,giá trị $a+b+c+d$
A. 4