CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM
A/LÝ THUYẾT
I. Nguyên hàm và tính chất:
1.Nguyên hàm:
*Định nghĩa:
Cho hàm số f (x) xác định trên K
Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F (x)’=f (x) với mọi x \[\in \] K.
* Định lý 1: Nếu F (x) là một nguyên
hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G (x) = F (x) + C, cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K.
*Định lý 2: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng
số.
\[\to
\] Hai định lý trên cho thấy: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số trên K thì \[F(x)+C,C\in R\] là họ của tất cả các nguyên hàm của f (x)
trên K. Kí hiệu \[\int{f(x)dx=F(x)+C}\]
CHÚ Ý: Biểu thức \[f(x)dx\] chính là vi
phân của nguyên hàm \[F(x)\] của f (x) vì
\[F(x)=F'(x)dx=f(x).\]
2.
Tính chất nguyên hàm:
*Tính chất 1: \[\left( \int{f(x)dx} \right)'=f(x)\] và \[\int{f'(x)dx=f(x)+C}\]
*Tính chất 2:\[\left( k\int{f(x)dx} \right)'=k\left( \int{f(x)dx}
\right)'=kf(x)\]\[\to \]\[\int{kf(x)dx=k\int{f(x)dx}}\]
*Tính chất 3: \[\int{\left[ f(x)\pm g(x) \right]}dx=\int{f(x)dx\pm
\int{g(x)dx}}\]
3.
Sự tồn tại nguyên hàm:
*Định lý 3: Mọi hàm số \[f(x)\] liên tục trên \[K\] đều có đạo hàm trên \[K\]
4.Các
công thức nguyên hàm :
|
\[\int{0dx=C}\] |
\[\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln
a}}+C(a>0,a\ne 1\] ) |
|
\[\int{dx=x+C}\] |
\[\int{\text{cos}}xdx=\operatorname{s}\text{inx}+C\]
\[\to \] \[\] \[\]\[\int{\text{cos}(\text{ax+b)dx=}\frac{\text{sin(ax+b)}}{a}}+C\] |
|
\[\int{{{x}^{a}}dx=\frac{1}{a+1}{{x}^{a+1}}+C(a\ne
-1)}\] \[\to
\int{{{\text{(ax+b)}}^{n}}dx=\frac{{{\text{(ax+b)}}^{n+1}}}{a(n+1)}}+C\] |
\[\int{\sin \text{x}dx=-co\text{s}}x+C\]
\[\to \]\[\int{\sin
(\text{ax+b)dx=-}\frac{\text{cox(ax+b)}}{a}}+C\] |
|
\[\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x
\right|+C}\] \[\to \]\[\int{\frac{1}{ax+b}dx=\frac{\ln
\left| ax+b \right|}{a}+C}\] |
\[\int{\frac{1}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x}}dx=t\text{anx+C}\]
|
|
\[\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}\] |
\[\int{\frac{1}{\operatorname{s}\text{i}{{\text{n}}^{2}}x}dx=-\cot
x+C}\] |
|
\[\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx=-\frac{1}{x}+C\]
\[\to \int{\frac{1}{{{\left( ax+b
\right)}^{2}}}dx}=-\frac{1}{a\left( ax+b \right)}dx\] |
\[\int{\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C}\]
|
|
\[\int{\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}\]
|
Đặc
biệt \[\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm
a}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm a} \right|}+C\] \[\int{\frac{xdx}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm
a}}=\sqrt{{{x}^{2}}\pm a}}+C\] |
CHÚ Ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số
được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II. Phương pháp tính nguyên hàm:
1.
Phương pháp đổi biến số:
*Định
lý 1: Nếu \[\int{f(u)du=F(u)+C}\] và \[u=u(x)\] là hàm số có đạo hàm liên tục
thì \[\int{f(u(x))u'dx=F(u(x))+C}\]
Hệ quả: \[\int{f(\text{ax+b)dx}}=\frac{1}{a}F(\text{ax+b)}+C(a\ne 0)\]
CHÚ Ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến mới \[u(u=u(x))\] thì sau khi tính nguyên
hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng
cách thay u bởi u(x)
2. Phương pháp
tính nguyên hàm từng phần:
*Định lý 2: Nếu hai hàm số \[u=u(x)\] và \[v=v(x)\] có đạo hàm liên tục
trên K thì\[\int{u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int{u'(x)v(x)dx}}\]
CHÚ Ý: Vì \[v'(x)dx=dv,u'(x)dx=du\], nên đẳng thức
còn được viết ở dạng \[\int{udv=uv-\int{vdu}}\]
B Ví dụ:
Vd1: Tính nguyên hàm của \[\int{{{(2x+1)}^{2}}dx}\]
A.\[\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{6}+C\]
B.\[\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{3}+C\]
C.\[\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{2}+C\]
D.\[\frac{2{{(2x+1)}^{3}}}{3}+C\]
Giải: \[\int{{{(2x+1)}^{2}}dx}=\frac{1}{2}.\frac{{{(2x+1)}^{3}}}{3}+C\]
Đáp án A
Vd2: Tính nguyên hàm của \[\int{\frac{1}{2x+1}dx}\]
A.$2\ln \left| x+1 \right|+c$
B.$ln\left| x+1 \right|+c$
C.$\frac{\ln \left| 2x+1 \right|}{2}+c$
D.$2\ln \left| 2x+1 \right|+c$
Giải : \[\int{\frac{1}{2x+1}dx}=\frac{\ln
\left| 2x+1 \right|}{2}+C\]
Đáp án C
Vd3:Tính
nguyên hàm của \[\int{\frac{\text{cosxdx}}{(3\sin x-1)}}\]
A.\[\frac{\ln \left| 3\sin x-1 \right|}{6}+C\]
B.\[\frac{\ln \left| 3\sin x-1 \right|}{3}+C\]
C.\[\frac{\ln \left| \sin x-1 \right|}{3}+C\]
D.\[\frac{\ln \left| 3\sin x-1 \right|}{2}+C\]
Giải :
\[\int{\frac{\text{cosxdx}}{(3\sin
x-1)}}=\int{\frac{d\operatorname{sinx}}{(3\sin x-1)}}\]\[\]
Đặt \[t=\operatorname{s}\text{inx}\]. Lúc này nguyên
hàm trở thành \[\int{\frac{dt}{(3t-1)}=\frac{\ln
\left| 3t-1 \right|}{3}}+C=\frac{\ln \left| 3\operatorname{s}\text{inx}-1
\right|}{3}+C\]
Đáp án B
Vd4: Tính
nguyên hàm của \[\int{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-1}dx}\]
A.\[\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C\]
B. 2\[\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C\]
C.\[-\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C\]
D.\[-2\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C\]
Giải:
Ta thấy: \[{{e}^{x}}dx=d({{e}^{x}})\]do
đó \[\int{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-1}dx}=\int{\frac{1}{{{e}^{x}}-1}d({{e}^{x}})}\]
Đặt \[t={{e}^{x}}\].Lúc này nguyên hàm trở thành \[\int{\frac{1}{t-1}d(t)=ln\left|
t-1 \right|}+C=\ln \left| {{e}^{x}}-1 \right|+C\]
Đáp án A
Vd5: Tính nguyên hàm của \[\int{\frac{dx}{4{{x}^{2}}-4x+1}}\]
A.\[\frac{\ln \left| x-1 \right|}{2}+C\]
B.\[\frac{\ln \left| 2x-1 \right|}{2}+C\]
C.\[\frac{3\ln \left| 2x-1 \right|}{2}+C\]
D.\[\frac{\ln \left| 2x-1 \right|}{3}+C\]
Giải:\[\int{\frac{(2x-1)dx}{{{(2x-1)}^{2}}}}=\frac{\ln
\left| 2x-1 \right|}{2}+C\]
Đáp án B
C.
Bài tập tự luyện
Câu
1. Cho \[F(x)={{x}^{2}}\] là một nguyên hàm của hàm số \[\text{f(x)}{{\text{e}}^{2x}}\].
Tìm nguyên hàm của hàm số \[\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}\]
A.\[\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}=-{{x}^{2}}+2x+C}\]
B.\[\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}=-{{x}^{2}}+x+C}\]
C.\[\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{ (x)}{{\text{e}}^{2x}}=-{{x}^{2}}-2x+C}\]
D.\[\int{\text{f }\!\!'\!\!\text{
(x)}{{\text{e}}^{2x}}=-2{{x}^{2}}+2x+C}\]
Câu
2.
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 sin x.
A.\[\int{2\sin xdx=2\cos x+C}\]
B.\[\int{2\sin xdx=\operatorname{s}\text{i}{{\text{n}}^{2}}x+C}\]
C.\[\int{2\sin xdx=\operatorname{s}\text{in2}x+C}\]
D.\[\int{2\sin xdx=-2\operatorname{cosx}+C}\]
Câu 3.Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)
= \[{{7}^{x}}\]
A.\[\int{{{7}^{x}}dx={{7}^{x}}\ln 7+C}\]
B.\[\int{{{7}^{x}}dx=\frac{{{7}^{x}}}{\ln 7}+C}\]
C.\[\int{{{7}^{x}}dx={{7}^{x+1}}+C}\]
D.\[\int{{{7}^{x}}dx=\frac{{{7}^{x+1}}}{x+1}+C}\]
Câu 4.Công thức nguyên hàm nào sau
đây là công thức sai?
A.\[\int{\frac{dx}{x}=\ln x+C}\]
B.\[\int{{{x}^{a}}dx=\frac{1}{a+1}{{x}^{a+1}}+C(a\ne
-1)}\]
C.\[\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}\]
D.\[\int{dx=x+C}\]
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số \[\text{f
(x)= (2x+1}{{\text{)}}^{3}}\]
A.\[\frac{1}{8}{{(2x+1)}^{4}}+C\]
B.\[{{(2x+1)}^{4}}+C\]
C.\[2{{(2x+1)}^{4}}+C\]
D.\[\frac{1}{2}{{(2x+1)}^{4}}+C\]
Câu 6:
Nguyên hàm của hàm số \[\int{\frac{dx}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x(1-\tan x)}}\]
A.\[-2\ln (1-\operatorname{tanx})+C\]
B.\[-\ln (1-\operatorname{tanx})+C\]
C.\[\ln (1-\operatorname{tanx})+C\]
D.\[2\ln (1-\operatorname{tanx})+C\]
Câu
7: Nguyên hàm của hàm số \[\int{\frac{xdx}{3{{x}^{2}}-1}}\]
A.\[\frac{\ln \left| 3{{x}^{2}}-1 \right|}{6}+C\]
B.\[\frac{\ln \left| 3{{x}^{2}}-1 \right|}{3}+C\]
C.\[\frac{\ln \left| 3{{x}^{2}}-1 \right|}{2}+C\]
D.\[\frac{\ln \left| {{x}^{2}}-1 \right|}{6}+C\]
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số \[f(x)=\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}\]
A.\[2{{e}^{\sqrt{x}}}+C\]
B.\[{{e}^{2\sqrt{x}}}+C\]
C.\[\frac{{{e}^{\sqrt{x}}}}{2}+C\]
D.\[{{e}^{\sqrt{x}}}+C\]
Câu 9: Nguyên hàm \[\int{\frac{xdx}{{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1}=\frac{a}{b}\ln
\left| \frac{{{x}^{2}}-c}{{{x}^{2}}-d} \right|+C(a,b,c,d\in N)}\], giá trị \[a+b+c+d\]
A. 4
B. 6
C. 7
D. 5
Câu 10: nguyên hàm \[\int{\frac{\sin
xdx}{\left( \cos x-1 \right)\left( \cos x+1 \right)}}=\frac{c}{d}\ln \left|
\frac{\cos x-a}{\cos x+b} \right|+C\],giá trị \[a+b+c+d\]
A. 4
B. 6
C. 7
D. 5
ĐÁP ÁN
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
D |
D |
B |
A |
A |
C |
A |
A |
B |
D |
\[\]
