Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A/ LÝ THUYẾT
1/ Hệ số góc, phương trình tiếp tuyến

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là $k=y'({{x}_{0}})$

+ Phương trình tiếp tuyến tại $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là $y=y'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}$

a/ Tiếp tuyến tại điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})$

Tính ${{y}_{0}}$ => $y'({{x}_{0}})$ => PTTT

Chú ý:

*Nếu đề bài cho ${{x}_{0}}$ thì gọi điểm tiếp xúc là $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ và tính ${{y}_{0}}=y'({{x}_{0}})$

*Nếu đề bài chưa cho ${{x}_{0}};{{y}_{0}}$ thì gọi điểm tiếp xúc là $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ và lập phương trình tiếp tuyến theo ${{x}_{0}}$

b/ Tiếp tuyến biết hệ số góc k

Gọi điểm tiếp xúc $M({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ . Tính y’, giải phương trình $y'({{x}_{0}})=k\Rightarrow {{x}_{0}};{{y}_{0}}\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến

Chú ý:

+ Tiếp tuyến song song $\vartriangle \Rightarrow kT=k\vartriangle$

+ Tiếp tuyến vuông góc $\vartriangle \Rightarrow kT=-1k\vartriangle$

B/ VÍ DỤ

VD 1: Đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+2$ có hai tiếp tuyến của (C) cùng song song với đường thẳng 2x + y – 5 = 0 là

A. $2x+y-\frac{10}{3}=0\And 2x+y-2=0$

B. $2x+y-4=0\And 2x+y-1=0$

C. $2x+y+\frac{4}{3}=0\And 2x+y+2=0$

D. $2x+y-3=0\And 2x+y+1=0$

HD:

Đường thẳng 2x + y – 5 = 0 có hệ số góc k = -2

$y'={{x}^{2}}-4x+1$ . Từ $y'=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0$

$=>{{x}_{1}}=1;{{y}_{1}}=\frac{4}{3}\Rightarrow y=-2x+\frac{10}{3}$

${{x}_{1}}=3;{{y}_{1}}=-4\Rightarrow y=-2x+2$

Đáp án A

VD 2: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x$ có 2 tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng x + 6y – 6 = 0. Đó là các đường thẳng

A. $y=6x+6\And y=6x+12$

B. $y=6x-5\And y=6x+27$

C. $y=6x+5\And y=6x-27$

D. $y=6x-6\And y=6x-12$

HD:

Đường thẳng vuông góc với x + 6y – 6 = 0 có hệ số góc bằng 6

$y'=3{{x}^{2}}-6x-3$

$y'=6\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-3=6\Leftrightarrow \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0$

${{x}_{1}}=-1\Rightarrow {{y}_{1}}=-1\Rightarrow y=6x+5$

${{x}_{2}}=3\Rightarrow {{y}_{2}}=-9\Rightarrow y=6x-27$

VD 3: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(0;3). Đó là các đường thẳng

A. $y=3x+3\And y=-4x+3$

B. $y=-3x+3\And y=\frac{15}{4}x+3$

C. $y=4x+3\And y=\frac{13}{4}x+3$

D. $y=-2x+3\And y=\frac{5}{4}x+3$

HD:

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = kx + 3

Thế (2) vào (1):

${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=(3{{x}^{2}}-6x)x+3=3{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}(2x+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1;k=-3\And x=-\frac{1}{2};k=\frac{15}{4}$

Hai tiếp tuyến là $y=-3x+3\And y=\frac{15}{4}x+3$

Đáp án B

VD 4: Hàm số $y=f(x)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-m{{x}^{2}}-6mx-9m+12$ có đồ thị (C). Khi tham số m thay đổi, các đồ thị (C) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình

A. $y=-9x+9$

B. $y=9x+9$

C. $y=-9x+30$

D. $y=9x+30$

HD:

$y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+12-m{{(x+3)}^{2}}\Rightarrow \forall m,$ điểm $A(-3;3)\in (C)$

$y'={{x}^{2}}-2m(x+3)$

$y'(-3)=9$

Phương trình tiếp tuyến tại A của (C) là

y = 9x + 30

Đáp án D

VD 5: Tiếp tuyến tại A(-3;-2) của đồ thị hàm số (C): $y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+1$ cắt (C) tại M. Tọa độ của M là

A.M(1;10)

B.M(-2;1)

C.M(2;33)

D.M(-1;0)

HD:

$y'=3{{x}^{2}}+8x+4$

$y'(-3)=7$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A:

$y=7(x+3)-2\Leftrightarrow y=7x+19$

Phương trình hoành độ giao điểm:

${{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+1=7x+19$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-3x-18=0$ $\Leftrightarrow {{(x+3)}^{2}}(x-2)=0$

$f(2)=33$ $\Rightarrow M(2;33)$

Đáp án C

VD 6: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{4}}}{2}-3{{x}^{2}}+\frac{3}{2}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại các điểm uốn của (C) có phương trình

A. $y=4x-3\And y=-4x-3$

B. $y=-4x+3\And y=4x+3$

C. $y=3x-4\And y=-3x-4$

D. $y=-3x+4\And y=3x+4$

HD:

$y'=2{{x}^{3}}-6x$

$y''=6{{x}^{2}}-6=0\Leftrightarrow x=\pm 1$

$x=1\Rightarrow y=1;y'(1)=-4\Rightarrow y=-4x+3$

$x=-1\Rightarrow y=-1;y'(-1)=4\Rightarrow y=4x+3$

Đáp án B

C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-(m+5){{x}^{2}}+4$ có đồ thị (C). Để (C) tiếp xúc với đường thẳng y= -6x – 3 tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}=-1$ thì giá trị của m là

A.m = 6

B.m = 1

C.m = -6

D.m = -1

Bài 2: Cho hàm số $y=\frac{x-4m}{mx-4}$ có đồ thị (H) với $m\ne 0;m\ne \pm 1$ . (H) luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Để tiếp tuyến của (H) tại A và B song song với nhau, giá trị của m là

A.m = 2

B.m = -2

C.m = 3

D.m = 0

Bài 3: Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{2x+3}$ có đồ thị (C). Nếu (C) đi qua A(1;1) tại điểm $B\in (C)$ có hoành độ -2, tiếp tuyến cảủa (C) có hệ số góc k = 5 thì các giá trị của a và b lần lượt là

A.2 ; 3

B.3 ; 2

C.2 ; -3

D.3 ; -2

Bài 4: Cho hàm số $y=\frac{(m+1)x+m}{x+m}$ có đồ thị (H). Với mọi giá trị $m\ne 0$ (H) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình:

A. $y=-x+1$

B. $y=-x-1$

C. $y=x+1$

D. $y=x-1$

Bài 5: Cho hàm số $y=\frac{ax+2}{bx+3}$ có đồ thị (H). Tại $M(-2;-4)\in (H)$ , tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng 7x – y + 5 = 0. Giá trị a và b lần lượt là

A.1 ; 2

B.2 ; 1

C.1 ; 3

D.3 ; 1

Bài 6: Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+4}{2x-2}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến với (C) tại A(0;-2) có phương trình

A. $x+2y-4=0$

B. $x+2y+4=0$

C. $x-2y-4=0$

D. $x-2y+4=0$

Bài 7: Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+x}{2(x-1)}$ có đồ thị (C). Các tiếp tuyến của (C) song song với đường $y=-\frac{x}{2}+1$ là

A. $x+2y=0$

B. $x+2y+1=0$

C. $x+2y-1=0$

D. $x+2y+2=0$

Bài 8: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+m}{x+1}$ có đồ thị (C). Để trên (C) có tiếp tuyến vuông góc với đường y = x + 1 thì m phải thõa mãn

A. $m\ge 1$

B. $m\ge -1$

C. $m\ge 2$

D. $m\ge -2$

Bài 9: Hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+ax+b}{x+3}$ có đồ thị (C). Để tại $A\left( 0;-\frac{4}{3} \right)\in (C)$ , tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng $\frac{10}{9}$ . Giá trị a; b lần lượt là