TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A/ LÝ THUYẾT

1/ Khái niệm

Cho đồ thị hàm số y=f(x)y=f(x) như hình vẽ, giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm



f(x)f&#x27;&#x27;(x) < 0 với mọi x thuộc (a;c): hàm số lồi trên (a;c)

f(x)f&#x27;&#x27;(x) > 0 với mọi x thuộc (c;b): hàm số lồi lõm trên (c;b)

f(x)f&#x27;&#x27;(x) đổi dấu khi x qua c: hàm số có điểm uốn tại x = c

+ Cung lồi: AC là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc AC, tiếp tuyến đều nằm trên cung AC. Khoảng [a;c] là khoảng lồi.

+ Cung lõm: CB là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc CB, tiếp tuyến đều nằm dưới cung CB. Khoảng [c;b] là khoảng lõm.

+ Điểm uốn: điểm chuyển tiếp giữa cung lồi sang cung lõm hoặc ngược lại

2/ Dấu hiệu và cách tìm khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn

Định lý: Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b)

+ Nếu f(x)&lt;0f&#x27;&#x27;(x)&lt;0 với mọi x(a;b)x\in \left( a;b \right) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó

+ Nếu f(x)&gt;0f&#x27;&#x27;(x)&gt;0 với mọi x(a;b)x\in \left( a;b \right) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó

+ Nếu f(x)f&#x27;&#x27;(x) đổi dấu khi đi qua x0{{x}_{0}} thì điểm M0(x0;f(x0)){{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}})) là điểm uốn của đồ thị hàm số

B/ VÍ DỤ

VD 1: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số y=x5y={{x}^{5}} lần lượt là

A.

B.

C.(0;+);(;0);(0;0)(0;+\infty );\left( -\infty ;0 \right);(0;0)

D.(0;+);(;0);(1;1)(0;+\infty );\left( -\infty ;0 \right);(1;1)

HD:

D= R

y=5x4;y=20x3y&#x27;=5{{x}^{4}};y&#x27;&#x27;=20{{x}^{3}} , ta có bảng xét dấu y’’

      

Vậy đồ thị hầm số lồi trên (;0)\left( -\infty ;0 \right) , lõm trên khoảng (0;+ )\left( 0;+\infty  \right) và điểm (0;0) là điểm uốn

Đáp án A

VD 2: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số y=sinxy=-\sin xtrên đoạn [0;2π ]\left[ 0;2\pi  \right]  lần lượt là

HD:


y=cosx;y=sinxy&#x27;=-\cos x;y&#x27;&#x27;=\sin x , ta có bảng xét dấu y’ trên

   

Vậy hàm số y=sinxy=-\sin x lõm trên (0;π2)\left( 0;\frac{\pi }{2} \right) , lồi trên (π2;2π )\left( \frac{\pi }{2};2\pi  \right) và điểm (π2;0)\left( \frac{\pi }{2};0 \right)  là điểm uốn của đồ thị

Đáp án B

VD 3: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ thị hàm số y=x+1x1y=\frac{x+1}{x-1} lần lượt là

A.(;0);(0;+);(0;1)\left( -\infty ;0 \right);(0;+\infty );(0;-1)

B.(;0);(0;+);\left( -\infty ;0 \right);(0;+\infty );\varnothing

C.(;1);(1;+);\left( -\infty ;1 \right);(1;+\infty );\varnothing

D.(;1);(1;+);(0;1)\left( -\infty ;1 \right);(1;+\infty );(0;-1)

HD:

D=(;1)(1;+)D=(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )

y=2(x1)2;y=4(x1)3y&#x27;=-\frac{2}{{{(x-1)}^{2}}};y&#x27;&#x27;=\frac{4}{{{(x-1)}^{3}}} . Ta có bảng xét dấu dấu của y’’:

Đồ thị hàm số lồi trên (;1)\left( -\infty ;1 \right) và lõm trên (1;+ )\left( 1;+\infty  \right) và không có điểm uốn

Đáp án C

VD 4: Đồ thị hàm số y=x2+3x+2x2+x+1y=\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{{{x}^{2}}+x+1} có 3 điểm uốn. Tọa độ 3 điểm uốn này là

A.(12;13),(1;2),(2;0)\left( \frac{1}{2};\frac{1}{3} \right),\left( 1;-2 \right),\left( 2;0 \right)

B.(12;13),(1;2),(2;1)\left( -\frac{1}{2};\frac{1}{3} \right),\left( -1;-2 \right),\left( -2;1 \right)

C.(12;13),(1;2),(2;0)\left( -\frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right),\left( 1;2 \right),\left( -2;0 \right)

D.(12;13),(1;2),(2;1)\left( \frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right),\left( -1;-2 \right),\left( 2;1 \right)

HD:

y=2x22x+1(x2+x+1)2y&#x27;=\frac{-2{{x}^{2}}-2x+1}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{2}}}

y=(x2+x+1)2(4x2)+(2x2+2x1)2(x2+x+1)(2x+1)(x2+x+1)4y&#x27;&#x27;=\frac{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{2}}(-4x-2)+(2{{x}^{2}}+2x-1)2({{x}^{2}}+x+1)(2x+1)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{4}}} =(2x+1)(x2+x+1)(2x22x2+4x2+4x2)(x2+x+1)4=\frac{(2x+1)({{x}^{2}}+x+1)(-2{{x}^{2}}-2x-2+4{{x}^{2}}+4x-2)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{4}}} =(2x+1)(2x2+2x4)(x2+x+1)3=\frac{(2x+1)(2{{x}^{2}}+2x-4)}{{{({{x}^{2}}+x+1)}^{3}}}

y=0(2x+1)(2x2+2x4)=0y&#x27;&#x27;=0\Leftrightarrow (2x+1)(2{{x}^{2}}+2x-4)=0

Đáp án C

 

C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho hàm số y=2x2+16cosxcos2xy=2{{x}^{2}}+16\operatorname{cosx}-\cos 2x . Hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số này là

A.x=π4+kπ2x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}

B.x=π2+k2πx=\frac{\pi }{2}+k2\pi

C.x=π2+kπx=\frac{\pi }{2}+k\pi

D.x=3π2+k2πx=\frac{3\pi }{2}+k2\pi

Câu 2: Giá trị của m để đồ thị hàm số y=x3+3mx2+(m+2)xm+2y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+(m+2)x-m+2 có điểm uốn nằm trên trục hoành là

A.1;1174;1+1741;\frac{-1-\sqrt{17}}{4};\frac{-1+\sqrt{17}}{4}

B.1;1+174;1174-1;\frac{1+\sqrt{17}}{4};\frac{1-\sqrt{17}}{4}

C.1;34;541;-\frac{3}{4};\frac{5}{4}

D.1;34;54-1;\frac{3}{4};-\frac{5}{4}

Câu 3: Cho hàm số y=ax3+bx2+x+1y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+x+1 . Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt là

A.-2;6

B.2;-6

C.-2;-6

D.2;6

Câu 4: Đồ thị của hàm số y=(x+1)3x2x+1y=\frac{{{(x+1)}^{3}}}{{{x}^{2}}-x+1} có 3 điểm uốn. Tọa độ của các điểm uốn này là

A.(1;0),(2;9),(12;92)\left( -1;0 \right),\left( 2;9 \right),\left( \frac{1}{2};\frac{9}{2} \right)

B.(1;2),(2;9),(12;92)\left( 1;2 \right),\left( 2;-9 \right),\left( \frac{1}{2};-\frac{9}{2} \right)

C.(0;1),(2;9),(12;92)\left( 0;1 \right),\left( -2;-9 \right),\left( -\frac{1}{2};-\frac{9}{2} \right)

D.(2;1),(1;2),(12;92)\left( -2;1 \right),\left( 1;-2 \right),\left( -\frac{1}{2};\frac{9}{2} \right)

Câu 5: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị hàm số y=x1x2+1y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+1} đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này có phương trình là

A.x + 4y – 3 = 0

B.x – 4y – 3 = 0

C.x + 4y + 3 = 0

D.x – 4y + 3 = 0

Câu 6: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị hàm số y=2x+1x2+x+1y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1} đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này có phương trình là

A.2x – 3y + 1 = 0

B.2x – 3y – 1 = 0

C.2x + 3y + 1 =0

D.2x + 3y – 1 =0

Câu 7: Cho hàm số y=x33mx2+(m+2)x+2m+3y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+(m+2)x+2m+3 . Để điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên parabol y=2x2y=2{{x}^{2}} , giá trị thích hợp của m là

A.m=1;m=32m=1;m=-\frac{3}{2}

B.m=1;m=32m=-1;m=\frac{3}{2}

C.m=1;m=3m=1;m=-3

D.m=3;m=1m=3;m=-1

Câu 8: Cho hàm số y=ax3+bx2y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}} . Để đồ thị  của hàm số nhận điểm I(-1;-2) là điểm uốn thì giác trị của a, b lần lượt là

A.1;3

B.-1;-3

C.-3;1

D.3;-1

Câu 9: Cho hàm số y=ax3+bx2+x+1y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+x+1 . Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt là

A.-2;6

B.2;-6

C.-2;-6

D.2;6

Câu 10: Cho hàm số y=x4+2bx2+4y={{x}^{4}}+2b{{x}^{2}}+4 có đồ thị là (C). Để (C) không có điểm uốn, giá trị của b là

A.b > 0

B.b < 0

C.Không tồn tại giá trị của b

D.Tất cả đều sai

 

ĐÁP ÁN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

A

B

A

B

A

B

B

B

A

 

 

 

Bài viết gợi ý: