TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
A/ LÝ THUYẾT
1/ Khái niệm
Cho đồ thị
hàm số y=f(x) như hình vẽ, giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm

f′′(x) <
0 với mọi x thuộc (a;c): hàm số lồi trên (a;c)
f′′(x)
> 0 với mọi x thuộc (c;b): hàm số lồi lõm trên (c;b)
f′′(x) đổi
dấu khi x qua c: hàm số có điểm uốn tại x = c
+ Cung lồi:
AC là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc AC, tiếp tuyến đều nằm trên cung AC.
Khoảng [a;c] là khoảng lồi.
+ Cung lõm: CB
là một cung lồi khi tại mọi điểm thuộc CB, tiếp tuyến đều nằm dưới cung CB. Khoảng
[c;b] là khoảng lõm.
+ Điểm uốn:
điểm chuyển tiếp giữa cung lồi sang cung lõm hoặc ngược lại
2/ Dấu hiệu và cách tìm khoảng lồi,
khoảng lõm và điểm uốn
Định lý: Cho
hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b)
+ Nếu f′′(x)<0
với mọi x∈(a;b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó
+ Nếu f′′(x)>0
với mọi x∈(a;b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó
+ Nếu f′′(x)
đổi dấu khi đi qua x0 thì điểm M0(x0;f(x0)) là
điểm uốn của đồ thị hàm số
B/ VÍ DỤ
VD 1: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ
thị hàm số y=x5 lần lượt là
A.
B.
C.(0;+∞);(−∞;0);(0;0)
D.(0;+∞);(−∞;0);(1;1)
HD:
D= R
y′=5x4;y′′=20x3
, ta có bảng xét dấu y’’

Vậy đồ thị hầm
số lồi trên (−∞;0) , lõm trên khoảng (0;+∞ ) và điểm (0;0) là điểm
uốn
Đáp án A
VD 2: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ
thị hàm số y=−sinxtrên đoạn [0;2π ] lần lượt là

HD:

y′=−cosx;y′′=sinx , ta có bảng xét dấu y’ trên 

Vậy hàm số y=−sinx lõm trên (0;2π) , lồi trên (2π;2π ) và điểm (2π;0) là điểm uốn của
đồ thị
Đáp án B
VD 3: Khoảng lồi, lõm, và điểm uốn của đồ
thị hàm số y=x−1x+1 lần lượt là
A.(−∞;0);(0;+∞);(0;−1)
B.(−∞;0);(0;+∞);∅
C.(−∞;1);(1;+∞);∅
D.(−∞;1);(1;+∞);(0;−1)
HD:
D=(−∞;1)∪(1;+∞)
y′=−(x−1)22;y′′=(x−1)34
. Ta có bảng xét dấu dấu của y’’:


Đồ thị hàm số
lồi trên (−∞;1) và lõm trên (1;+∞ ) và không có điểm uốn
Đáp án C
VD 4: Đồ thị hàm số y=x2+x+1x2+3x+2
có 3 điểm uốn. Tọa độ 3 điểm uốn này là
A.(21;31),(1;−2),(2;0)
B.(−21;31),(−1;−2),(−2;1)
C.(−21;−31),(1;2),(−2;0)
D.(21;−31),(−1;−2),(2;1)
HD:
y′=(x2+x+1)2−2x2−2x+1
y′′=(x2+x+1)4(x2+x+1)2(−4x−2)+(2x2+2x−1)2(x2+x+1)(2x+1)
=(x2+x+1)4(2x+1)(x2+x+1)(−2x2−2x−2+4x2+4x−2)
=(x2+x+1)3(2x+1)(2x2+2x−4)
y′′=0⇔(2x+1)(2x2+2x−4)=0

Đáp án C
C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hàm số y=2x2+16cosx−cos2x . Hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số này là
A.x=4π+k2π
B.x=2π+k2π
C.x=2π+kπ
D.x=23π+k2π
Câu 2: Giá trị của m để đồ thị hàm số y=x3+3mx2+(m+2)x−m+2
có điểm uốn nằm trên trục hoành là
A.1;4−1−17;4−1+17
B.−1;41+17;41−17
C.1;−43;45
D.−1;43;−45
Câu 3: Cho hàm số y=ax3+bx2+x+1
. Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt
là
A.-2;6
B.2;-6
C.-2;-6
D.2;6
Câu 4: Đồ thị của hàm số y=x2−x+1(x+1)3
có 3 điểm uốn. Tọa độ của các điểm uốn này là
A.(−1;0),(2;9),(21;29)
B.(1;2),(2;−9),(21;−29)
C.(0;1),(−2;−9),(−21;−29)
D.(−2;1),(1;−2),(−21;29)
Câu 5: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ
thị hàm số y=x2+1x−1 đều nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng
này có phương trình là
A.x + 4y – 3
= 0
B.x – 4y – 3
= 0
C.x + 4y + 3
= 0
D.x – 4y + 3
= 0
Câu 6: Đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ
thị hàm số y=x2+x+12x+1 đều nằm trên một đường thẳng. Đường
thẳng này có phương trình là
A.2x – 3y +
1 = 0
B.2x – 3y –
1 = 0
C.2x + 3y +
1 =0
D.2x + 3y –
1 =0
Câu 7: Cho hàm số y=x3−3mx2+(m+2)x+2m+3
. Để điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên parabol y=2x2 , giá trị thích
hợp của m là
A.m=1;m=−23
B.m=−1;m=23
C.m=1;m=−3
D.m=3;m=−1
Câu 8: Cho hàm số y=ax3+bx2
. Để đồ thị của hàm số nhận điểm
I(-1;-2) là điểm uốn thì giác trị của a, b lần lượt là
A.1;3
B.-1;-3
C.-3;1
D.3;-1
Câu 9: Cho hàm số y=ax3+bx2+x+1
. Để điểm I(1;-2) là điểm uốn của đò thị hàm số, các giá trị của a, b lần lượt
là
A.-2;6
B.2;-6
C.-2;-6
D.2;6
Câu 10: Cho hàm số y=x4+2bx2+4
có đồ thị là (C). Để (C) không có điểm uốn, giá trị của b là
A.b > 0
B.b < 0
C.Không tồn
tại giá trị của b
D.Tất cả đều
sai
ĐÁP ÁN
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
C
|
A
|
B
|
A
|
B
|
A
|
B
|
B
|
B
|
A
|
Bài viết gợi ý: