Chuyên đề: Tiệm cận đồ thị hàm số.

Chuyên đề: Tiệm cận của đồ thị hàm số

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa:

1. Đường thẳng x=${{x}_{0}}$ là đường TCĐ( gọi tắt là TCĐ) của đồ thị hàm số y= f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,=\pm \infty $; $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,=\pm \infty $

2. Đường thẳng y= y0 được gọi là đường TCN( gọi tắt là TCN) của đồ thị hàm số y= f(x) nếu: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,={{y}_{0}}$.

II. Dấu hiệu nhận biết TCĐ và TCN.

1. Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có TCĐ.

2. Hàm phân thức mà bậc tử bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu có TCN.

3. Hàm căn thức dạng y= $\sqrt{h(x)}-\sqrt{g(x)}$, y= $\sqrt{h(x)}$- g(x), ... có TCN( dùng liên hợp để làm những dạng này).

III. Cách tìm TCĐ và TCN.

1. TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.

2. TCN: Tính 2 giới hạn: $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,={{y}_{0}}$.

3. Sử dụng VINACAL với chức năng tìm giới hạn, hoặc CASIO sử dụng phím CALC.

IV. Chú ý: Trước mỗi bài tập xác định tiệm cận chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số trước. Sau khi dự đoán được tiệm cận bài toán chúng ta cần so sánh lại xem tiệm cận có thuộc tập xác định không sau đó mới kết luận.

B. Bài tập.

Bài tập về tiệm cận hàm số tập trung vào 2 dạng: Xác định tiệm cận hàm số có chứa tham số và không chứa tham số.

I. Bài tập minh họa.

Dạng 1: Bài toán không chứa tham số.

Câu 1: : Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có TCN.

A. y = ${{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+16$

B. y = $8{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}+1$

C. $y=\frac{-3x-1}{{{x}^{2}}-2}$

D. $y=\frac{{{x}^{5}}-1}{{{x}^{2}}-2}$

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Ta dễ thấy đáp án A và B không có TCN. Đáp án D thì bậc tử cao hơn bậc mẫu nên cũng không có TCN. Xét đáp án C thấy $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-3x-1}{{{x}^{2}}-2}=0$ nên có TCN là y=0. Hoặc sử dụng phím CALC trên CASIO. Nhập hàm trên rồi CALC với x=100000000000 thấy ra bằng 0.

Câu 2: Số đường TCĐ và TCN của đồ thị $y=\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}+3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}-x}$.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.

Tập xác định: D =

Tiệm cận đứng: Ta thấy nghiệm của mẫu là x=0 và x=1 không là nghiệm của tử.

Nên đa số học sinh sẽ trả lời có 2 TCĐ nhưng đó là bẫy bài toán. Quan sát thấy

x=0 $\notin $D. Nên x=0 không là TCĐ ta xét:

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}+3{{x}^{2}}+2}{x(x-1)}=+\infty $;

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}+3{{x}^{2}}+2}{x(x-1)}=-\infty $.

Suy ra x=1 là TCĐ.

Ngoài cách trên ta có thể sử dụng chức năng tìm giới hạn của VINACAL nhập

hàm vào sau đó cho $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,y$ ta nhận được kết quả là

infinity.

Tiệm cận ngang:

Tương tự:

Nên y=3 là TCN. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

Câu 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = $\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}$.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Vì $\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x$> $\sqrt{{{x}^{2}}}$-x ≥ $\left| x \right|$- x ≥ 0.

Nên $\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x$ > 0

Nên đồ thị hàm số không có TCĐ. Xét:

Vậy đồ thị hàm số chỉ có duy nhất y= -1 là TCN.

Dạng 2: Các bài toán chứa tham số.

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{{{m}^{2}}x-4}{mx-1}$ có tiệm cận đi qua điểm A(1;4).

A. m=1 B. m=2 C. m=3 D.m=4

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Cách 1: Ta có TCĐ x = $\frac{1}{m}$và TCN y = m. Nên để tiệm cận qua A(1;4) thì

thử lại m ta thấy m=4 loại vì làm hàm số suy biến.

Cách 2: Thử từng đáp án ta thấy m=1 thỏa mãn.

Câu 2: Tìm m để hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-6x+m}{4x-m}$ không có TCĐ.

A. m=2 B.

C. m=16 D. m=1

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có TCĐ x =$\frac{m}{4}$. Đồ thị sẽ không có

tiệm cận đứng khi x=$\frac{m}{4}$ là nghiệm phương trình:

x2 - 6x + m = 0. Suy ra: \[{{\left( \frac{m}{4} \right)}^{2}}-6.\frac{m}{4}+m=0\]\[\Leftrightarrow \]

Câu 3: Số điểm thuộc đồ thị hàm số (H): \[y=\frac{2x-1}{x+1}\]có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (H) nhỏ nhất là:

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. TCĐ: x = -1; TCN: y=2. Gọi M\[\left( x;\frac{2x-1}{x+1} \right)\] \[\in \](H). Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:

\[d=\left| x+1 \right|+\left| \frac{2x-1}{x+1}-2 \right|=\left| x+1 \right|+\frac{3}{\left| x+1 \right|}\ge 2\sqrt{\left| x+1 \right|.\frac{3}{\left| x+1 \right|}}=2\sqrt{3}\].

Nên dmin=\[2\sqrt{3}\]\[\Leftrightarrow \](x+1)2=3\[\Leftrightarrow \]x=\[\pm \sqrt{3}\]-1\[\Rightarrow \]Có 2 điểm thuộc đồ thị thỏa mãn đề bài.

II. Bài tập tự luyện:

Câu 1: Đường thẳng y = -8 là TCN của đồ thị hàm số nào.

A. $y=\frac{2x+8}{{{x}^{2}}-9}$ B. $y=\frac{16x-29}{3-2x}$ C. $y=\frac{2{{x}^{2}}-1}{16x-2}$ D. $y=\frac{8x-25}{1-3x}$

Câu 2: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$.

A. y=1, x=2 B. y=2, x=1 C. y=3, x=1 D. y=1, x=2

Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+6}}{x-1}$ và $y=\frac{{{x}^{2}}-4x+3}{{{x}^{2}}-9}$. Tổng số đường tiệm cận của hai đồ thị là:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 4: Đồ thị hàm số y = f(x) có $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=2$, chọn khẳng định đúng.

A. TCĐ x=2. B. TCN y=2

C. Hàm số có 2 cực trị D. Hàm số có 1 cực trị

Câu 5: Xét các mệnh đề sau:

1. Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2x-3}$có 1 đường TCĐ và 1 đường TCN.

2. Đồ thị hàm số $y=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}{x}$có 2 TCN và 1 TCĐ.

3. Đồ thị hàm số $y=\frac{x-\sqrt{2x-1}}{{{x}^{2}}-1}$ có 1 TCN và 2 TCĐ.

Số mệnh đề đúng là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 6: Tìm m để hàm số \[y=\frac{mx-1}{x-m}\] có TCĐ.

A. m\[\notin \]{-1;1} B. m ≠ 1 C. m ≠ -1 D. Không có m

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số có đúng hai TCN.

A. m=1 B. m\[\in (1;4)\] C. m<1 D. m>1

Câu 8: Cho hàm số \[y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}-2mx+9}\], m≠0. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số có đúng 1 TCĐ.

A.3 B. 2 C. 1 D. 4

Câu 9: Cho hàm số \[y=\frac{ax+1}{x+3b+1}\]. Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm TCN và TCĐ. Khi đó a+b bằng

A.\[\frac{1}{3}\] B. 0 C.\[-\frac{1}{3}\] D. \[\frac{2}{3}\]

Câu 10: Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì đường TCĐ, TCN của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành 1 hình chữ nhật có diện tích bằng 2016.