Chuyên đề: Khối đa diện.

CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN

A. Lý thuyết.

I. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện.

1. Hình đa diện: là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn các tính chất

Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.

2. Khối đa diện: là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ.
Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp.
Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt.
Tương tự ta có định nghĩa về khối n- giác; khối chóp cụt n- giác, khối chóp đều, khối hộp,…

3. Một số chú ý áp dụng làm bài tập lý thuyết.

Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
Cho (H) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của (H) là lẻ thì p chẵn.
Cho (H) là đa diện có m mặt, các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của (H) là c=$\frac{pm}{2}$.
Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số mặt của nó là 1 số chẵn.
Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
Không tồn tại một hình đa diện có:

+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh.

+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.

4. Bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện đều.

5. Thể tích khối đa diện.

Khối hộp chữ nhật: V = abc
Khối lập phương có cạnh bằng a: V= ${{a}^{3}}$.
Khối chóp có diện tích đáy là S và chiều cao h, V=$\frac{1}{3}Sh$.
Khối lăng trụ có diện tích đáy là S chiều cao h, V= Sh.

Chú ý: Vì tứ diện là hình hay gặp nhiều trong đề thi nên có một số công thức tính nhanh các em cần lưu ý:

Nếu là tứ diện đều cạnh a thì V=$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Nếu AB, AC, AD đôi một vuông góc, V= $\frac{1}{6}$AB.AC.AD.
Gọi khoảng cách chéo nhau giữa AB và CD là d và góc giữa chúng là $\alpha$ thì V=$\frac{1}{6}.AB.CD.d.sin\alpha$
Gọi các góc ở đỉnh A lần lượt là $\alpha ,\beta ,\gamma $. AB=a, AC= b, AD= c thì

V=$\frac{abc}{6}\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\beta -{{\cos }^{2}}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }$.

Gọi ${{S}_{1}}$= ${{S}_{ABC}}$, ${{S}_{2}}$=${{S}_{ABD}}$, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là $\alpha $ thì V= $\frac{2{{S}_{1}}{{S}_{2}}\sin \alpha }{3a}$.
Nếu tứ diện là tứ diện gần đều( các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau). AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c thì V=$\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}})}$.

6. Tỷ số thể tích: Cho hai khối chóp như hình vẽ:

Ta có: $\frac{{{V}_{SDEF}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{SD}{SA}.\frac{SE}{SB}.\frac{SF}{SC}$

B. Bài tập.

I. Bài tập minh họa:

Dạng 1: Nhận biết các hình đa diện và các câu hỏi lý thuyết.

Câu 1: Cho các hình khối sau:

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4

Mỗi hình trên gồm 1 số các đa giác phẳng( kể cả điểm trong của nó), hình đa diện là:

A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta thường sử dụng nhận xét sau để làm những bài như này: Đoạn thẳng nối giữa hai điểm bất kì từ hai cạnh của đa giác đều phải nằm trong đa giác đó. Vì vậy, dễ thấy hình 2,3,4 đều không thỏa mãn nhận xét trên nên chọn A.

Câu 2: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai:

A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.

B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.

C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.

D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Vì theo khái niệm hình đa diện đáp án C không thỏa mãn.

Câu 3: Một hình đa giác có các mặt là tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa giác đó thỏa mãn:

A. 3C=2M B. C=M+2 C. M=C+3 D. 3M=2C

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Vì khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số mặt của nó là 1 số chẵn.

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi

B. Khối hộp là khối đa diện lồi

C. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được 1 khối đa diện lồi

D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Vì khối đa diện (H) là lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của hình (H) đều thuộc hình (H).

Câu 5: Cho lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông và BD’=a. Tính thể tích lăng trụ khi BD’ hợp với mặt bên (AA’D’D) một góc 30°.

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$

C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Dễ chứng minh được $\Delta BA\text{D}'$vuông tại A.

A’D’=AB= BD’.sin30°=\[\frac{a}{2}\].

AD’= BD’.cos${{30}^{0}}$=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

\[\Delta SB\text{D}\]AA’=\[\sqrt{A\text{D}{{'}^{2}}-A'D{{'}^{2}}}\]= \[\frac{a}{\sqrt{2}}\]\[\Rightarrow V=A'D{{'}^{2}}\].AA’=\[{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}\].

Câu 6: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng (α) chứa AM và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại N, P. Tính \[\frac{{{V}_{ABC\text{D}PMN}}}{{{V}_{SAPMN}}}\]

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi BD\[\cap \]AC={O}

AM\[\cap \]SO={I}. Nên I là trọng tâm \[\Delta SAC\] và \[\Delta SB\text{D}\]

Qua I dựng PN//BD. Nên thiết diện là tứ giác AMNP.

$\frac{{{V}_{SANMP}}}{{{V}_{SABC\text{D}}}}=\frac{2{{V}_{SANM}}}{2{{V}_{SABC}}}$=$\frac{SN}{SB}.\frac{SM}{SC}$=$\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow {{V}_{SANMP}}=\frac{{{V}_{SABC\text{D}}}}{3}\Rightarrow {{V}_{ABC\text{D}MNP}}=\frac{2{{V}_{SABC\text{D}}}}{3}$

$\Rightarrow \frac{{{V}_{SANMP}}}{{{V}_{ABC\text{D}PMN}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABC\text{D}PMN}}}{{{V}_{SANMP}}}$=2

Câu 7: Cho khối hộp ABCDA’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối chóp ACB’D’.

A. $\frac{V}{3}$ B. $\frac{V}{2}$ C. $\frac{2V}{3}$ D. $\frac{3V}{4}$

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Khối hộp đã cho được hợp bởi 4 khối chóp là ABB’C, A’B’D’A, CC’B’D’, AD’CD và khối đa diện B’D’AC mà chúng ta cần tính thể tích. Mà 4 khối chóp trên, mỗi khối có thể tích là $\frac{V}{6}$ . Nên ${{V}_{B'D'AC}}=V-\frac{4V}{6}=\frac{V}{3}$.

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD, mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C’ của cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số $\frac{SC'}{SC}$.

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ D. $\frac{4}{5}$

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Đặt \[\frac{SC'}{SC}=x\]; (0<>

Ta có: \[\frac{{{V}_{SA\text{D}'C'}}}{{{V}_{SA\text{D}C}}}=\frac{S\text{D}'}{S\text{D}}.\frac{SC'}{SC}={{x}^{2}}\Rightarrow {{V}_{SA\text{D}'C'}}={{x}^{2}}{{V}_{SA\text{D}C}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}{{V}_{SABC\text{D}}}\]\[\frac{{{V}_{SABC'}}}{{{V}_{SABC}}}=\frac{SC'}{SC}=x\Rightarrow {{V}_{SABC'}}=x{{V}_{SABC}}=\frac{x}{2}{{V}_{SABC\text{D}}}\]

\[\Rightarrow {{V}_{SABC'D'}}={{V}_{SABC'}}+{{V}_{SA\text{D}'C'}}=\frac{{{x}^{2}}+x}{2}.{{V}_{SABC\text{D}}}\].

Theo đề bài ${{V}_{SABC'D'}}=\frac{{{V}_{ABC\text{D}}}}{2}\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+x}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

II.Bài tập tự luyện.

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.

B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.

C. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh bằng số cạnh.

D.Tồn tại hinh đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì đa diện nào cũng:

A. Lớn hơn hoặc bằng 4.

B. Lớn hơn 4.

C. Lớn hơn hoặc bằng 5.

D. Lớn hơn 5.

Câu 3: Cho khối hộp hình chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AA’=a, biết đường chéo A’C hợp với đáy ABCD một góc 30° và mặt (A’BC) một góc 60°. Tính thể tích hộp chữ nhật.

A. $\frac{2{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{\text{4}{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{3}$ C. $\frac{\text{4}{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ D. $\frac{\text{2}{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{3}$

Câu 4: Cho hình chóp SABC có SB=SC=BC=CA=a. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp.

A. $\frac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ C. $\frac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{12}$ D. $\frac{{{\text{a}}^{3}}\sqrt{2}}{8}$

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có thể tích 12. Gọi M, P là trung điểm của AB, CD và lấy N trên AD sao cho DA=4AN. Tính thể tích tư diện BMNP.

A. 12 B. 6 C. $\frac{3}{4}$ D. 1

Câu 6: Cho khối tứ diện ABCD có AB=x, tất cả các cạnh còn lại bằng $x\sqrt{3}$ . Tìm x biết thể tích tứ diện đã cho bằng 48 ${{m}^{3}}$.

A. x=$2\sqrt{6}$ B. x= $2\sqrt{2}$ C. x= $6\sqrt{2}$ D. x= $2\sqrt{3}$

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=4, AC=BD=5, AD=BC=6. Tính thể tích tứ diện.

A. $\frac{15\sqrt{6}}{4}$ B. $\frac{15\sqrt{5}}{4}$ C. $\frac{15\sqrt{3}}{4}$ D. $\frac{15\sqrt{2}}{4}$

Câu 8: Cho hình chóp SABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD và SA’B’C’D’ bằng

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

Câu 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC=2BD=2a. Tam giác SAB vuông cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{8}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{12}$

Câu 10: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A= 60°. Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy biết BB’=a. Tính thể tích khối hộp.

A. $\frac{3}{4}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{5}{4}$ D. $\frac{5}{6}$

Đáp án bài tập tự luyện: