HÀM SỐ LOGARIT

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa
Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y=logaxy={{\log }_{a}}x được gọi là hàm số logarit cơ số a
II. Đạo hàm
y=logaxy=1xlnay={{\log }_{a}}x\Rightarrow y'=\frac{1}{x\ln a}

y=lnxy=1xy=\ln x\Rightarrow y'=\frac{1}{x}

y=logau(x)y=uulnay={{\log }_{a}}u(x)\Rightarrow y'=\frac{u'}{u\ln a}

III. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số logarit y=logax(a>0;a1)y={{\log }_{a}}x(a>0;a\ne 1)

Tập xác định

(0;+)(0;+\infty )

Đạo hàm

Chiều biến thiên

a>1a>1: hàm số luôn đồng biến
$0

Tiệm cận

Trục Oy là tiệm cận đứng

Đồ thị

Đi qua các điểm (1;0) và (aa;1); nằm phía bên phải trục tung, được biểu diễn ở hình 1.1 với hai trường hợp a&gt;1a&gt;1 và $0<>

 

          hình 1.1

B. Ví dụ

Câu 1: Tập xác định D của hàm số y=log(x24)y=\log ({{x}^{2}}-4)

                           

B. D=(;2)(2;+)D=(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )

C. D=(2;+)D=(2;+\infty )                                          

D. D=(2;2)D=(-2;2)

Giải
Điều kiện: x240x24{{x}^{2}}-4\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ge 4
             x(;2)(2;+)\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )
Chọn B

Câu 2: Tập xác định của hàm số y=ln(x10=ln(x+1)y=\sqrt{\ln (x-10=\ln (x+1)}

Giải
Điều kiện

Chọn D

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số sau y=ln(1+x+1)y=\ln (1+\sqrt{x+1})

A. y=12x+1(1+x+1)y&#x27;=\frac{1}{2\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x+1})}                B. y=11+x+1y&#x27;=\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}

C. y=1x+1(1+x+1)y&#x27;=\frac{1}{\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x+1})}                  D. y=2x+1(1+x+1)y&#x27;=\frac{2}{\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x+1})}

Giải

y=(1+x+1)1+x+1=12x+11+x+1=12x+1(1+x+1)y&#x27;=\frac{(1+\sqrt{x+1})&#x27;}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{1+\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x+1})}

Chọn A
Câu 4: Đường cong trong hình dưới là đồ thị của 1 hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm hàm số đó là hàm số nào?

A. y=log0,5xy={{\log }_{0,5}}x                                               B. y=log2xy={{\log }_{2}}x

C.y=13x13y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}                                            D. y=3x+1y=-3x+1

 Giải

Nhận thấy đây là đồ thị của hàm số logarit y=logaxy={{\log }_{a}}xnên loại đáp án C, D.

Điểm A(2;-1)  thuộc  đồ thị hàm số nên:

1=loga2=a1=2a=0,5-1={{\log }_{a}}2={{a}^{-1}}=2\Rightarrow a=0,5

Chọn A

Câu 5: Đồ thị hàm sốy=log2(2x)y=\left| {{\log }_{2}}(2x) \right| là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:

Giải

Đồ thị hàm số y=log2(2x)y=\left| {{\log }_{2}}(2x) \right|không có phần nằm dưới trục hoành nên loại đáp án C.

Hàm sốy=log2(2x)y=\left| {{\log }_{2}}(2x) \right| xác định với mọi x&gt;0x&gt;0nên đồ thị hàm sốy=log2(2x)y=\left| {{\log }_{2}}(2x) \right| không cắt trục Oy.

Chọn  A

C.Bài tập tự luyện

Câu 1:  Tìm x để hàm sốy=logx2+x12y=\log \sqrt{{{x}^{2}}+x-12}  xác định.

Câu 2: Tập xác định của hàm số y=12x+ln(x1)y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+\ln (x-1) là

    A. D=(1;2)D=(1;2)      B. D=(1;+)D=(1;+\infty )          C.D=(0;+)D=(0;+\infty )            D.D=[1;2]D=\left[ 1;2 \right]  

Câu 3: Cho hàm số lnx12x2+1\ln x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+1.Tìm giá trị lớn nhất   của hàm số trên [12;2]\left[ \frac{1}{2};2 \right]

    A.M=ln21M=\ln 2-1                                              B. M=78ln2M=\frac{7}{8}-\ln 2

    C.M=78+ln2M=\frac{7}{8}+\ln 2                                             D. M=12M=\frac{1}{2}

Câu 4: Đạo hàm của hàm số y=log3(x+1)2ln(x1)+2xy={{\log }_{3}}(x+1)-2\ln (x-1)+2xtại điểm x=2x=2 bằng

A. 13\frac{1}{3}                                             B. 13ln3+2\frac{1}{3\ln 3}+2

C. 13ln31\frac{1}{3\ln 3}-1                               D. 13ln3\frac{1}{3\ln 3}

Câu 5: Tập xác định của hàm số y=log0,3(x1)x22x8y=\sqrt{\frac{-{{\log }_{0,3}}(x-1)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x-8}}} là:

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của   để hàm sốy=logax(a&gt;0;a1)y={{\log }_{a}}x(a&gt;0;a\ne 1)  có đồ thị là hình bên.

A. a=12a=\frac{1}{2}                                     B. a=1+2a=1+\sqrt{2}

C. a=2a=\sqrt{2}                                D. a=12a=\frac{1}{\sqrt{2}}

Câu 7: Hình bên là đồ thị của ba hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{c}^{x}}(0

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    A. a&gt;b&gt;ca&gt;b&gt;c      

    B. b&gt;a&gt;cb&gt;a&gt;c

    C. b&gt;c&gt;ab&gt;c&gt;a   

    D. a&gt;c&gt;ba&gt;c&gt;b

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số y=log2018(x2+1)y={{\log }_{2018}}({{x}^{2}}+1)

A. y=2x2018y&#x27;=\frac{2x}{2018}                                     B. y=2x(x2+1)2018y&#x27;=\frac{2x}{({{x}^{2}}+1)2018}

C. y=1(x2+1)2018y&#x27;=\frac{1}{({{x}^{2}}+1)2018}                                    D. y=x2(x2+1)2018y&#x27;=\frac{{{x}^{2}}}{({{x}^{2}}+1)2018}

Câu 9: Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số y=ln(x2+1)+mx+1y=\ln ({{x}^{2}}+1)+mx+1  đồng biến trên 

    A. [1;+)[1;+\infty )               B. (1;+)(1;+\infty )                   C. [1;1]\left[ -1;1 \right]                 D. (;1]\left( -\infty ;-1 \right]

Câu 10:  Xét các số thực a,ba,b thỏa mãn a&gt;b&gt;1a&gt;b&gt;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin{{P}_{\min }}  của biểu thức 

    A. Pmin=19{{P}_{\min }}=19           B. Pmin=13{{P}_{\min }}=13                 C. Pmin=14{{P}_{\min }}=14              D. Pmin=15{{P}_{\min }}=15

 

Đáp án bài tập tự luyện

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

A

D

D

A

C

B

B

A

D

 

Bài viết gợi ý: