Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Xét hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\,\,\left( ad-bc\ne 0 \right)\,\left( C \right)$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$ khi đó $M\left( {{x}_{0}};\frac{a{{x}_{0}}+b}{c{{x}_{0}}+d} \right)$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$

Khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận là:

${{d}_{1}}=\left| {{x}_{0}}+\frac{d}{c} \right|=\left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|$ ( khoảng cách đến tiệm cận đứng)

${{d}_{2}}=\left| {{y}_{0}}-\frac{a}{c} \right|=\left| \frac{ab-dc}{c\left( c{{x}_{0}}+d \right)} \right|$ ( khoảng cách đến tiệm cận ngang)

Khi đó: ${{d}_{1}}.{{d}_{2}}=\left| \frac{ad-bc}{{{c}^{2}}} \right|=p$

1. 4

2. 6

3. 8

4. 2

Bài toán 1: Tìm điều kiện sao cho tổng khoảng cách từ $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

$\sum{kc={{d}_{1}}+{{d}_{2}}\ge 2\sqrt{{{d}_{1}}.{{d}_{2}}}=2\sqrt{p}}$ ( áp dụng bất đẳng thức cosi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${{d}_{1}}={{d}_{2}}\Leftrightarrow {{\left| c{{x}_{0}}+d \right|}^{2}}=\left| ad-bc \right|\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{d}{c}\pm \sqrt{p}$

1. $M\left( 0;-1 \right)$

2. $M\left( 2;2 \right)$

3. $M\left( 1;-3 \right)$

4. $M\left( 4;3 \right)$

1. $\sqrt{6}$

2. $2\sqrt{6}$

3. 6

4. 12

1. 3

2. 2

3. 1

4. 0

Bài 1: D

Bài 2: B

Bài 3: B

Bài toán 2: Tìm$M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Hướng dẫn giải

${{d}_{1}}=\left| {{x}_{0}}+\frac{d}{c} \right|=\left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|$

${{d}_{2}}=\left| {{y}_{0}}-\frac{a}{c} \right|=\left| \frac{ab-dc}{c\left( c{{x}_{0}}+d \right)} \right|$

${{d}_{1}}=k{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|=k\left| \frac{ad-bc}{c\left( c{{x}_{0}}+d \right)} \right|\Leftrightarrow {{\left( c{{x}_{0}}+d \right)}^{2}}=k\left| ad-bc \right|$

1. ${{M}_{1}}\left( 1;-1 \right);{{M}_{2}}\left( 7;5 \right)$

2. ${{M}_{1}}\left( 1;1 \right);{{M}_{2}}\left( -7;5 \right)$

3. ${{M}_{1}}\left( -1;1 \right);{{M}_{2}}\left( 7;5 \right)$

4. ${{M}_{1}}\left( 1;1 \right);{{M}_{2}}\left( 7;-5 \right)$

Bài toán 3: Tìm$M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ sao cho khoảng cách từ M đến I là ngắn nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận).

Hướng dẫn giải

$M\left( {{x}_{0}};\frac{a{{x}_{0}}+b}{c{{x}_{0}}+d} \right)$; $I\left( -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right)$

 ( Áp dụng bất đẳng thức Cosi)

$\Rightarrow IM\ge \sqrt{2p}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${{d}_{1}}={{d}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{d}{c}\pm \sqrt{p}$

Tính chất: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị $\left( C \right)$, tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận tại hai điểm A và B. Khi đó M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị( giao điểm của hai đường tiệm cận).