THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN
Tứ diện ABCD có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau:
$V=\frac{1}{12}\sqrt{M+N+P-Q}$,
trong đó
.png)
Tứ diện đều cạnh a, ta có \[V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\].
Tứ diện vuông ( các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông).
Với tứ diện \[ABCD\]có \[AB,AC,AD\]đôi một vuông góc và \[AB=a,AC=b,AD=c\], ta có
\[V=\frac{1}{6}abc.\]
Tứ diện gần đều ( các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)
Với tứ diện \[ABCD\] có \[AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c\], ta có
.png)
.png)
.png)
Từ đó suy ra:
\[AP=\sqrt{2}.\sqrt{-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},AQ=\sqrt{2}.\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},\text{AR}=\sqrt{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}.\]
Vậy từ \[(*)\] ta suy ra:
\[{{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{(-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).({{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})}.\]
Ngoài ra ta có thể tính thể tích khối tứ diện qua độ dài, khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện
Tứ diện \[ABCD\] có
\[AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=\alpha ,\] ta có
\[V=\frac{1}{6}abd\sin \alpha .\]
Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau
Xét khối tứ diện \[ABCD\] ta có \[{{S}_{1}}={{S}_{CAB}},{{S}_{2}}={{S}_{DAB}},\alpha =((CAB),(DAB)),AB=a,\]ta có\[V=\frac{2{{S}_{1}}{{S}_{2}}\sin \alpha }{3a}\].
.png)
Câu 1. Cho khối tứ diện \[ABCD\]có \[AB=x\],tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng \[\sqrt{3}x\]. Tìm \[x\], biết thể tích khối tứ diện đã cho bằng 48(cm3).
A.\[x=2\sqrt{6}\] B. \[x=2\sqrt{2}\] C.\[x=6\sqrt{2}\] D. \[x=2\sqrt{3}\]
Ta có .png)
Vậy \[V=\frac{{{(\sqrt{3}x)}^{2}}}{6}\sqrt{1+2\left( \frac{5}{6} \right)\left( \frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{2} \right)-{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{6}}=48\Leftrightarrow x=2\sqrt{6}.\]
Chọn đáp án A.
Tứ diện có 3 góc cùng xuất phát từ một đỉnh
Tứ diện \[SABC\] có \[SA=a,SB=b,SC=c\] và
\[\angle \text{AS}B=x,\angle BSC=y,\angle CSA=z,\] ta có
\[V=\frac{1}{6}abc\sqrt{1+2\cos x\cos y\operatorname{cosz}-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}y-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}z}\]
Câu 1. Cho khối tứ diện \[ABCD\] có \[AB=2,AC=3,AD=BC=4,BD=2\sqrt{5},CD=5.\] Tính thể tích \[V\]khối tứ diện \[ABCD\].
- \[V=\sqrt{15}.\] B. \[V=\frac{\sqrt{15}}{2}\] C. \[V=\frac{3\sqrt{5}}{2}\] D. \[V=\frac{9\sqrt{5}}{2}\]
>>Lời giải:
Ta có .png)
.png)
Chọn đáp án A.
Vậy $V=\frac{1}{3}DA.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{6}DA.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{6}.4.2.3.\sqrt{1-{{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{2}}}=\sqrt{15}.$
Câu 2. Cho khối tứ diện \[ABCD\] có \[AB=5,AC=3,AD=BC=4,BD=4,AD=3\]và \[CD=\frac{12\sqrt{2}}{5}\]. Tính thể tích \[V\]của khối tứ diện \[ABCD\].
- \[V=\frac{24}{5}.\]
- \[V=\frac{24\sqrt{2}}{5}.\]
- \[V=\frac{19}{3}\].
- \[V=\frac{19\sqrt{2}}{3}.\]
>>Lời giải: Để ý .png)
Với \[E\]là trung điểm của cạnh \[CD\]. Vì vậy \[V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.CD.\]
Ta có \[AB=5\], \[E=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \frac{6\sqrt{2}}{5} \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{5},BE=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( \frac{6\sqrt{2}}{5} \right)}^{2}}}=\frac{2\sqrt{82}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABE}}=3\sqrt{2}.\]
Vậy \[V=\frac{1}{3}.3\sqrt{2}.\frac{12\sqrt{2}}{5}=\frac{24}{5}.\]
