PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. Lý thuyết

  * Nếu $a>0;a\ne 1$ thì ${{\log }_{a}}x=b\Leftrightarrow x={{a}^{b}}$

B. Bài tập minh họa

Phương Pháp 1: Đưa về cùng cơ số

Câu 1: \[\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{2}}}(x+3)+\frac{1}{4}{{\log }_{4}}{{(x-1)}^{8}}={{\log }_{2}}(4x)\]

ĐK: 0

Câu 2: \[2\log (x-1)=\frac{1}{2}\operatorname{l}\text{og}{{\text{x}}^{5}}-\log \sqrt{x}\]

ĐK:x>1

PT \[(2)\Leftrightarrow \log {{(x-1)}^{2}}=\log {{\text{x}}^{2}}\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\](không thoả mãn đk)

$\Rightarrow $  Phương trình vô nghiệm

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ

Câu 1: \[{{\log }_{(x+1)}}16={{\log }_{2}}(x+1)\].

ĐK : -1

Câu 2: \[{{\log }_{2}}\sqrt{\left| x \right|}-4\sqrt{{{\log }_{4}}\left| x \right|}-5=0\].

 ĐK \[\left| x \right|\ge 1\].

PT \[(2)\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left| x \right|-4\sqrt{\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left| x \right|}-5=0\]. Đặt t=\[\sqrt{\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left| x \right|}\]

Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích

Câu 1:${{\log }_{2}}x+2{{\log }_{7}}x=2+{{\log }_{2}}x.{{\log }_{7}}x$

ĐK $0

PT $(1)\Leftrightarrow {{\log }_{7}}x(2-{{\log }_{2}}x)+{{\log }_{2}}x-2$

          $\Leftrightarrow (2-{{\log }_{2}}x)({{\log }_{7}}x-1)$

Phương pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

  • Tính chất 1: Nếu hàm số $f(x)$ tăng ( hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì phương trình $f(x)=C$  có không qúa một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 $\in $ (a;b) sao cho $f(x)=C$ thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=C$)

 

  • Tính chất 2 : Nếu hàm số $f(x)$ tăng trên khoảng (a;b) và hàm $g(x)$là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng  (a;b). (do đó nếu tồn tại x0 $\in $ (a;b) sao cho $f(x)=g(x)$ thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=g(x)$)

Câu 1: \[{{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}-x+1}{2{{x}^{2}}-4x+3}={{x}^{2}}-3x+2\].

Xét hàm số f(t)=log3t+t$f(t)={{\log }_{3}}t+t$  là hàm số đồng biến với $t>0$

Pt tương đương u=v 

Câu 2: ${{2}^{x}}-{{2}^{1-x}}={{\log }_{2}}\left( \frac{1-x}{x} \right)$

 ĐK: 0

(2)\[\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{\log }_{2}}x={{2}^{1-x}}+{{\log }_{2}}(1-x)\]

Xét hàm số $f(t)={{2}^{t}}+{{\log }_{2}}t$ trên $(0;1)$là hàm số đồng biến nên pt $\Leftrightarrow x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

C. Bài tập tự luyện

Giải các phương trình sau :

Câu 1: \[{{\log }_{3}}\frac{3}{x}.{{\log }_{2}}x-{{\log }_{3}}\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+{{\log }_{2}}\sqrt{x}\]

A. $x=1;x=\frac{\sqrt{3}}{8}$                             B. $x=-1;x=\frac{\sqrt{3}}{8}$

C. $x=1$                                 D. $x=\frac{\sqrt{3}}{8}$

Câu 2: \[{{\log }_{2}}({{x}^{2}}-3)-{{\log }_{2}}(6x-10)+1=0\]

A. $x=1;x=2$                          B. $x=1;x=\sqrt{2}$

C. $x=2$                                 D. $x=-1;x=-2$

Câu 3: \[\log (x+10)+\frac{1}{2}\operatorname{l}\text{og}{{\text{x}}^{2}}=2-\log 4\]

A. $x=-5;x-5+5\sqrt{2}$                            B. $x=-5;x=\sqrt{2}$

C. $x=-5$                                          D. $x=5;x=5\sqrt{2}$

Câu 4: \[{{\log }_{2}}(2{{x}^{2}}+\frac{1}{2})-{{\log }_{2}}x=3{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}\]

A. $x=\sqrt{2}$                                B. $x=1$

C. $x=4$                                 D. $x=2$

Câu 5: \[{{\log }_{3}}{{(x+2)}^{2}}+{{\log }_{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}=9\]

A. $x=1;x=2$                          B. $x=-29$

C. $x=-25;x=29$                     D. $x=25;x=-29$

Câu 6: \[{{\log }_{4}}(x+2).{{\log }_{x}}2=1\]

A. $x=-1;x=2$                         B. $x=1;x=\sqrt{2}+1$

C. $x=2$                                 D. $x=-1;x=-2$

Câu 7: \[{{\log }_{2}}({{x}^{2}}+3x+2)+{{\log }_{2}}({{x}^{2}}+7x+12)=3+{{\log }_{2}}3\]

A. $x=0;x=5$                          B. $x=0;x=-5$

C. $x\in \varnothing $                                 D. $x=5$

Câu 8: \[{{\log }_{({{x}^{2}}-x+2)}}(x+3)={{\log }_{(x+5)}}(x+3)\]

A. $x=1;x=3$                          B. $x\in \varnothing $

C. $x=-1;x=-3$                        D. $x=-1;x=3$

Câu 9: \[\log _{2}^{2}x+(x-1){{\log }_{2}}x+2x-6=0\]

A. $x=1;x=2$                          B. $x=1;x=\sqrt{2}$

C. $x=2;x=\frac{1}{4}$                    D. $x=-2$

Câu 10: \[{{2}^{{{\log }_{5}}(x+3)}}=x\]

A. $x=1\pm \sqrt{2}$                                 B. $x=1;x=\sqrt{2}$

C. $x=1-\sqrt{2}$                             D. $x=1+\sqrt{2}$

Đáp án bài tập tự luyện

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

C

A

B

D

C

B

D

C

A

 

 

 

 

Bài viết gợi ý: