hệ thức lượng trong tam giác

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A. Lý thuyết

I. Các kí hiệu thường gặp

• A, B,C: là các goác đỉnh A,B,C
• a, b, c: là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
• h_a, h_b, h_c : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C
• m_a, m_b, m_c: là độ dài các đường trung tuyến hạ từ các đỉnh A, B, C
• l_a, l_b, l_c: là độ dài các đường phân giác hạ từ các đỉnh A, B, C
• R: là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• r: là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
• p = \[\frac{1}{2}\](a+b+c): là nửa chu vi tam giác ABC
• S: là diện tích tam giác ABC

II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông ABC, gọi b^', c^' là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền, ta có các hệ thức:

III. Các hệ thức lượng giác trong tam giác thường

1. Định lí hàm COSIN

Trong tam giác ABC ta luôn có:

Chú ý: Trong một tam giác bình phương mỗi cạnh bang tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với cosin của góc xem giữa chúng

Hệ quả: Trong tam giác ABC, ta luôn có:

\[\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}\], \[\cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}\]  ,   \[\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}\]

 

2. Định lí hàm SIN

Trong tam giác ABC ta có:

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]

 

Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có:

Chú ý: Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

3. Định lý về đường trung tuyến

Trong tam giác ABC ta có:

 

4. Định lý về diện tích tam giác

 

Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau:

5. Định lý về đường phân giác

\[{{l}_{a}}=\frac{2bc.\cos \frac{A}{2}}{b+c};{{l}_{b}}=\frac{2ac.\cos \frac{B}{2}}{a+c};{{l}_{c}}=\frac{2ab\cos \frac{C}{2}}{a+b}\]

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC. Gọi ${{l}_{A}},{{l}_{B}},{{l}_{C}}$ lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng. a.    ${{l}_{A}}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}$ b.    $\frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ c.   $\frac{1}{{{l}_{A}}}+\frac{1}{{{l}_{B}}}+\frac{1}{{{l}_{C}}}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Giải

a.  Trước hết chứng minh công  $\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$

bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có $\widehat{A}=2\alpha $ thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên.

${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}bc\sin A$ ,${{S}_{\Delta ABD}}=\frac{1}{2}c{{l}_{A}}\sin \frac{A}{2}$,  ${{S}_{\Delta ACD}}=\frac{1}{2}b{{l}_{A}}\sin \frac{A}{2}$

Mà ${{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta ABD}}+{{S}_{\Delta ACD}}\Rightarrow {{l}_{A}}=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}$

b. $\frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{b+c}{bc} \right)=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

Tương tự $\frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c},\frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}$

$\Rightarrow \frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

c. Ta có $\frac{\cos \frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}<\frac{1}{{{l}_{A}}}+\frac{1}{{{l}_{B}}}+\frac{1}{{{l}_{C}}}$

$\Rightarrow \frac{1}{{{l}_{A}}}+\frac{1}{{{l}_{B}}}+\frac{1}{{{l}_{C}}}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Câu 2 Cho tam giác ABC. Gọi ${{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}}$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, $m=\frac{{{m}_{a}}+{{m}_{b}}+{{m}_{c}}}{2}$ . Chứng minh rằng ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3}{4}\sqrt{m\left( m-{{m}_{a}} \right)\left( m-{{m}_{b}} \right)\left( m-{{m}_{c}} \right)}$

Giải

Gọi D là điểm đối xứng của A qua 

 trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành

Dễ thấy ${{S}_{\Delta GBD}}={{S}_{\Delta GBC}}={{S}_{\Delta AGB}}={{S}_{\Delta AGC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}$

Mà $\Delta GBD$có ba cạnh $\frac{2}{3}{{m}_{a}},\frac{2}{3}{{m}_{b}},\frac{2}{3}{{m}_{c}}$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta GBD}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\sqrt{m\left( m-{{m}_{a}} \right)\left( m-{{m}_{b}} \right)\left( m-{{m}_{c}} \right)}$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=3{{S}_{\Delta GBD}}=\frac{3}{4}\sqrt{m\left( m-{{m}_{a}} \right)\left( m-{{m}_{b}} \right)\left( m-{{m}_{c}} \right)}$

 

Câu 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng ${{S}_{\square ABCD}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ Với $P=\frac{a+b+c+d}{2}$

Giải

Do ABCD nội tiếp nên

$\sin \widehat{ABC}=\sin \widehat{ADC}$

$\cos \widehat{ABC}=-\cos \widehat{ADC}$

${{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{ADC}}=\frac{1}{2}\left( ab+cd \right)\sin B$

$=\frac{1}{2}\left( ab+cd \right)\sqrt{1-{{\cos }^{2}}B}$

Trong tam giác $ABC$có $A{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos B$

 Trong tam giác $ADC$ có $A{{C}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}-2cd\cos D$

Câu 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng $\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2abc}=\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}$

Giải

Ta có 

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2ac\cos B+2bc\cos A+2ab\cos C$

$\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2abc}=\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}$

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có        a. $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{abc}R$        b. $\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$ .

Giải 

a. Sử  dụng định lí sin và cosin.

b. Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp

  Ta có    

Từ hình vẽ: 

Từ (1) và (2) $\frac{{{\left( {{S}_{\Delta ABC}} \right)}^{2}}}{p}=(p-a)\tan \frac{A}{2}bc\sin \frac{A}{2}\text{.cos}\frac{A}{2}\text{ }$

$\Leftrightarrow \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p}=bc(p-a)\sin \frac{A}{2}$

$\Rightarrow \sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$

Câu 6: Tam giác ABC có tính chất gì khi ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{4}\left( a+b-c \right)\left( a+c-b \right)$

Giải

Theo Hê rong ${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{\left( \frac{a+b+c}{2} \right)\left( \frac{a+b-c}{2} \right)\left( \frac{a-b+c}{2} \right)\left( \frac{-a+b+c}{2} \right)}$

 

$\Rightarrow {{\left( a+b-c \right)}^{2}}{{\left( a+c-b \right)}^{2}}=\left( a+b+c \right)\left( a+b-c \right)\left( a-b+c \right)\left( -a+b+c \right)$

$\Rightarrow \left( a+b-c \right)\left( a+c-b \right)=\left( a+b+c \right)\left( -a+b+c \right)\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}$ Tam giác ABC vuông tại A

Câu 7: Cho tam giác ABC . Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{r}{R}\le \frac{1}{2}$

Giải 

Ta có 

Mà $\sqrt{(p-a)(p-b)}\le \frac{2p-a-b}{2}=\frac{c}{2}$

$\sqrt{(p-a)(p-c)}\le \frac{2p-a-c}{2}=\frac{b}{2}$

$\sqrt{(p-b)(p-c)}\le \frac{2p-b-c}{2}=\frac{a}{2}$

Câu 8: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng            a.   $\frac{{{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B}{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}\le \frac{1}{2}\left( {{\cot }^{2}}A+{{\cot }^{2}}B \right)$           b.     $3S\ge 2{{R}^{2}}\left( {{\sin }^{3}}A+{{\sin }^{3}}B+{{\sin }^{3}}C \right)$           c.     $\sqrt{p}<\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le \sqrt{3p}$           d.     ${{S}^{2}}\le \frac{1}{16}\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)$

Giải

a. BĐT $\Leftrightarrow \frac{2-si{{n}^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}A}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}B} \right)-1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}A}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}B} \right)$

$\Leftrightarrow 4\le \left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}A}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}B} \right)\left( {{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B \right)$

        b.  $3S\ge 2{{R}^{2}}\left( {{\sin }^{3}}A+{{\sin }^{3}}B+{{\sin }^{3}}C \right)$

$\Leftrightarrow \frac{3abc}{4R}\le 2{{R}^{2}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{8{{R}^{3}}}+\frac{{{b}^{3}}}{8{{R}^{3}}}+\frac{{{c}^{3}}}{8{{R}^{3}}} \right)$  $\Leftrightarrow 3abc\le {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$

         c. Từ ${{\left( x+y+z \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2zx$

           $\Rightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}>{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$

        Nên x, y,z dương thì $x+y+z>\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ áp dung vào CM

   +   $\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}>\sqrt{p-a+p-b+p-c}=\sqrt{p}$

    + ${{\left( \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c} \right)}^{2}}\le 3\left( p-a+p-b+p-c \right)=3p$

    d. 

$=\frac{1}{16}\left[ {{(b+c)}^{2}}-{{a}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}} \right]\le \frac{1}{16}\left[ {{(b+c)}^{2}}-{{a}^{2}} \right]{{a}^{2}}$

$=\frac{1}{16}\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc-{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}\le \frac{1}{16}\left( 2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}$

$=\frac{1}{16}\left( 2{{b}^{2}}{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}{{a}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\le \frac{1}{16}({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}})$

Câu 9: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng  ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{4}\left( {{a}^{2}}\sin 2B+{{b}^{2}}\sin 2B \right)$

Giải

Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB

Xét các trường hợp  + B là góc nhọn hay vuông,

                                  + B là góc tù

Giải

${{\left( a+b+c \right)}^{2}}\le 3({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})$

$\Rightarrow {{\left( a+b+c \right)}^{4}}\le 9{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}=9{{\left( \sqrt{a}\sqrt{{{a}^{3}}}\sqrt{b}\sqrt{{{b}^{3}}}\sqrt{c}\sqrt{{{c}^{3}}} \right)}^{2}}$

$\le \left( a+b+c \right)\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)$

$\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{4}}}{9\left( a+b+c \right)}=\frac{1}{9}{{(a+b+c)}^{3}}=\frac{8}{9}{{p}^{3}}$ khi tam giác đều

Câu 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\le \frac{1}{4{{r}^{2}}}$

Giải

                      ${{a}^{2}}\ge {{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}\le \frac{1}{{{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}}$

     Tương tự  $\frac{1}{{{b}^{2}}}\le \frac{1}{{{b}^{2}}-{{(c-a)}^{2}}},\frac{1}{{{c}^{2}}}\le \frac{1}{{{c}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}}$

Nên $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\le \frac{1}{{{a}^{2}}-{{(b-c)}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}-{{(c-a)}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}}$

$=\frac{1}{\left( a-b+c \right)\left( a+b-c \right)}+\frac{1}{\left( b-c+a \right)\left( b+c-a \right)}+\frac{1}{\left( c-a+b \right)\left( c+a-b \right)}$

$=\frac{1}{4\left( p-b \right)\left( p-c \right)}+\frac{1}{4\left( p-c \right)\left( p-a \right)}+\frac{1}{4\left( p-a \right)\left( p-b \right)}$

$=\frac{p}{4(p-a)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\frac{{{p}^{2}}}{4p(p-a)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\frac{{{p}^{2}}}{4{{S}^{2}}}=\frac{1}{4{{r}^{2}}}$

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho \[\overrightarrow{a}\]= ( 2; -3) và  \[\overrightarrow{b}\] = ( 5; m ). Giá trị của m để \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] cùng phương là

A. – 6                             B.\[-\frac{13}{2}\]                   C. – 12                 D. \[-\frac{15}{2}\]

Câu 2: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60⁰ . Tàu  thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu  thứ hai chạy với tốc độ 40km/h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu  cách nhau bao nhiêu km?

A. 13                    B. 15\[\sqrt{13}\]           C. 10\[\sqrt{13}\]           D. 15

Câu 3:  Cho tam giác ABC .Đẳng thức nào sai

A. sin ( A+ B – 2C ) = sin 3C                     B. \[\cos \frac{B+C}{2}=\sin \frac{A}{2}\]         

C. sin( A+B) = sinC                                    D. \[\cos \frac{A+B+2C}{2}=\sin \frac{C}{2}\]

Câu 4:Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm . Tích  \[\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\] là :

A. 13          B. 15           C. 17           D. Một kết quả khác .

Câu 5: Cho hình chữ nhật  ABCD có  AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow{AC}\] là 

A. 5                      B. 6             C. 7             D. 9           

Câu 6: Cho tam đều  ABC cạnh a . Độ dài của \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\] là :

A. a\[\sqrt{3}\]               B. a\[\frac{\sqrt{3}}{3}\]                   C.a\[\sqrt{6}\]       D.2a\[\sqrt{3}\]         

Câu 7: Cho tam giác đều cạnh a. Độ dài của \[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\] là

A.\[\frac{\sqrt{3}}{4}\]                     B. a                       C. a\[\frac{\sqrt{2}}{3}\]                   D. \[\frac{a}{4}\]      

Câu 8:  Cho ba điểm A ( 1; 3) ; B ( -1; 2) C( -2; 1) . Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\]là

A. ( -5; -3)            B. ( 1; 1)               C. ( -1;2)               D. (4; 0)

Câu 9: Cho ba điểm A ( 1;2) , B ( -1; 1) , C( 5; -1) . Cosin của góc (\[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\]) bằng số nào dưới đây.

A.- \[\frac{1}{2}\]                    B.\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]                      C. - \[\frac{2}{5}\]                            D. \[-\frac{\sqrt{5}}{5}\]

Câu 10: Cho ba điểm A( -1; 2) , B( 2; 0) , C( 3; 4) . Toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là

A. ( 4; 1)               B. ( \[\frac{9}{7};\frac{10}{7})\]                C. ( \[\frac{4}{3};2)\]               D).( 2; 3)

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D	C	C	D	A	A	B	B	D	B

 

 

Bài viết gợi ý: