Tuyệt Kĩ Casio Hạ Gục m Nguyên, Số Nghiệm

Các em xem bản PDF tại : Bấm vào đây

Chuyên đề trích trong sách : Hạ gục dạng toán chống Casio sẽ ra mắt tầm tháng 3-4/2018

Các sách của anh các em tham khảo tại http://bikiptheluc.com/sach , khóa học quay sẵn các em xem tại Loga.vn , khóa Live thì các em theo dõi trên fb cá nhân: https://fb.com/Ad.theluc

Đề Minh Họa 2018

Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $16^x-2.12^x+(m-2)9^x=0$ có nghiệm dương?

A.$1$. B. $2$. C. $4$. D. $3$.

Hướng dẫn

Tự Luận

Xét phương trình ${16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^x} + m - 2 = 0$

Đặt $t = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^x} > 0$ ta được ${t^2} - 2t + m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 + 2t - {t^2}\left( * \right)$.

Để phương trình đã cho có nghiệm dương $x > 0$ thì phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $t = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^x} > 1$.

Xét hàm $f\left( t \right) = 2 + 2t - {t^2},t \in \left( {1; + \infty } \right)$ có: $f'\left( t \right) = 2 - 2t < 0,\forall t > 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

Suy ra $f\left( t \right) < f\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow m < 3$.

Mà $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Casio : Về bản chất m bị giới hạn số lượng thì khi tác giả hỏi m nguyên dương thì nó sẽ có dạng nghiệm là $m\le a,a>0$ do đó ta sẽ tìm tất cả các giá trị m để phương trình có nghiệm dương

${{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}+(m-2){{9}^{x}}=0\to m=2-\frac{{{16}^{x}}-{{2.12}^{x}}}{{{9}^{x}}}=f(x)\to Minf(x)\le m\le Maxf(x),\forall x>0$

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x$ có nghiệm thực?

A.$5$. B. $7$. C. $3$. D. $2$.

Hướng dẫn

Tự Luận

Ta có: $\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x \Leftrightarrow m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = {\sin ^3}x$.

Đặt $\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = u \Rightarrow m + 3\sin x = {u^3}$ thì phương trình trên trở thành $m + 3u = {\sin ^3}x$

Đặt $\sin x = v$ thì ta được

$\left\{ \begin{array}{l}m + 3v = {u^3}\\m + 3u = {v^3}\end{array} \right. \Rightarrow 3\left( {v - u} \right) + \left( {v - u} \right)\left( {{v^2} + uv + {u^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {v - u} \right)\left( {3 + {v^2} + uv + {u^2}} \right) = 0$

Do $3 + {v^2} + uv + {u^2} > 0,\forall u,v$ nên phương trình trên tương đương $u = v$.

Suy ra $\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = \sin x \Leftrightarrow m = {\sin ^3}x - 3\sin x$.

Đặt $\sin x = t\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$ và xét hàm $f\left( t \right) = {t^3} - 3t$ trên $\left[ { - 1;1} \right]$ có $f'\left( t \right) = 3{t^2} - 3 \le 0,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Nên hàm số nghịch biến trên $\left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow - 1 = f\left( 1 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( { - 1} \right) = 2 \Rightarrow - 2 \le m \le 2$.

Vậy $m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$.

Casio :

Các em không thể nào rút m ra được như ví dụ trước để xét hàm nên mình sẽ tư duy như sau, số lượng m bị giới hạn đây chính là điểm yếu của nó và chắc chắn nó phải có dạng $m\in \left[ a;b \right]$

Nhìn nhanh $m=0\to \sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sin x}}=\sin x\to \sin x=0$ có nghiệm vậy thì $0\in \left[ a;b \right]\to a\leftarrow 0\to b$ vậy là chỉ cần từ số 0 mình sẽ lan ra tìm 2 cái đầu biên

Xét $m=1$ dùng Table để kiểm tra xem có nghiệm không bằng sự đổi dấu (đã hd chi tiết trong cuốn Casio Cơ Bản 2018)

Câu 36. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|x^3-3x+m\right|$ trên đoạn ${[0;2]}$ bằng 3. Số phần tử của $S$ là

A.$1$. B. $2$. C. $0$. D. $6$.

Hướng dẫn

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m$ trên $\left[ {0;2} \right]$ ta có : $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

BBT :

TH1 : $2 + m < 0 \Leftrightarrow m < - 2 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = - \left( { - 2 + m} \right) = 2 - m \Leftrightarrow 2 - m = 3 \Leftrightarrow m = - 1\,\,\left( {\,ktm} \right)$

TH2 : $\left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 0 \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 2 - m = 3 \Leftrightarrow m = - 1\,\,\left( {tm} \right)$

TH3 : $\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 2 + m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 2 \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {tm} \right)$

TH4 : $- 2 + m > 0 \Leftrightarrow m > 2 \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 2 - m = 3 \Leftrightarrow m = - 1\,\,\left( {ktm} \right)$

VD này các em xem video tại đây: https://www.youtube.com/watch?v=_hjE94khss4

Một số ví dụ khác

Ví Dụ 1. [Chuyên KHTN 2018]: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}-m{{2}^{x+1}}+(2{{m}^{2}}-5)=0$ có hai nghiệm phân biệt?

A.1 B. 5 C.2 D.4

Hướng dẫn: Có những bài tự luận cũng nhanh thì mình làm tự luận

Đặt ${{2}^{x}}=t>0$ thì tức là bài toán trở thành ${{t}^{2}}-mt+2{{m}^{2}}-5=0$ tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương

Ví dụ 2. Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -2018;2018 \right]$để phương trình $\left( m+1 \right){{\sin }^{2}}x-\sin 2x+\cos 2x=0$ có nghiệm là: