Đề thi môn Toán trường THPT chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần 1 có lời giải chi tiết

Cho khối chóp \[S.ABC\] có $M\in SA,N\in SB$ cho \[\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MS},\text{ }\overrightarrow{NS}=-2\overrightarrow{NB}.\] Mặt phẳng

đi qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó (số bé chia số lớn).

Một hộp đựng phần hình hộp chữ nhật có chiều dài \[30\text{ }cm\], chiều rộng \[5\text{ }cm\] và chiều cao \[6\text{ }cm.\] Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là khối trụ có chiều cao \[6\text{ }cm\] và bán kính đáy $r=\frac{1}{2}cm.$ Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp một \[f'\left( x \right)\]và đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$. Biết đồ thị của hàm số \[y=f\left( x \right),\text{ }y=f'\left( x \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }y=f''\left( x \right)\] là một trong các đường cong

ở hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của hàm số \[y=f\left( x \right),\text{ }y=f'\left( x \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }y=f''\left( x \right)\] lần lượt theo thứ tự nào dưới đây

Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $4+{{9.3}^{{{x}^{2}}-2y}}=\left( 4+{{9}^{{{x}^{2}}-2y}} \right){{.7}^{2y-{{x}^{2}}+2}}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x+2y+18}{x}.$

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc \[v\text{ }km\text{ }/h\] phụ thuộc thời gian \[t\left( h \right)\] có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left( 1;1 \right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \[5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }8,\text{ }9.\] Tính tổng tất các số thuộc tập S.

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai tia Bx, Dy vuông góc với mặt phẳng \[\left( ABCD \right)\] và cùng chiều lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho $BM=\frac{a}{2},DN=a.$. Tính góc $\varphi $ giữa hai mặt phẳng $\left( AMN \right)\,v\grave{a}\,\left( CMN \right).$

Trong không gian với hệ tọa độ \[\text{Ox}yz,\] cho tam giác ABC với $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 3;2;4 \right),C\left( 0;5;4 \right).$ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \[\left( \text{Ox}y \right)\] sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x.c\text{o}{{\text{s}}^{4}}x}.$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+2$ có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và $M\left( 0;3 \right)$ thẳng hàng.

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng

của phương trình $\sqrt{2}c\text{os}3x=\sin x+\cos x.$

Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị $y={{\log }_{a}}x,y={{\log }_{b}}x$ và trục hoành lần lượt tại A, B và H ta đều có \[2HA=3HB\] (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng ?

Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT có 13 học sinh gồm 4 học sinh khối 10, có 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi tình nguyện, hãy tính xác suất để 4 học sinh được chọn có đủ 3 khối.

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho $C_{14}^{k},C_{14}^{k+1},C_{14}^{k+2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tích tất cả các phần tử của S.

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số  liên tục tại điểm $x=2.$

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của k để đường thẳng $y=k\left( x+1 \right)+2$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt \[M\text{ }\left( -1;2 \right),\text{ }N,\text{ }P\] sao cho các tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại N và P vuông góc với nhau. Tính tích tất cả các phần tử của tập S.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang \[\left( AB\text{ }//CD \right).\] Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAB. Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJG) là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sau đây đúng ?

Biết $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3x+1}-1}{x}=\frac{a}{b}$, trong đó a, b là hai số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$tối giản. Tính giá trị biểu thức $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.$

Cho khối chóp S.ABC có \[SA\bot \left( ABC \right),\text{ }SA=a,\text{ }AB=a,\text{ }AC=2a\text{ }v\grave{a}\text{ }\widehat{BAC}={{120}^{\circ }}.\] Tính thể tích khối chóp S. ABC.

Cho khối nón có bán kính đáy $r=3\,\left( cm \right)$ và góc ở đỉnh ${{120}^{\circ }}$. Tính diện tích xung quanh ${{S}_{xq}}$ của khối nón đó.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}{{e}^{{{x}^{4}}+1}}.$

Cho hình lập phương cạnh a nội tiếp mặt cầu (S). Tính diện tích mặt cầu (S).

Dãy số nào sau đây giảm ?

Hình nào dưới đây không có trục đối xứng ?

Tìm chu kì của hàm số $f\left( x \right)=\tan \,\frac{x}{4}+2\sin \frac{x}{2}.$

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1 \right\},\]liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biên thiên sau

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $f\left( x \right)=3m$ có ba nghiệm phân biệt.

Tìm tập nghiệm S của phương trình ${{3}^{2x+1}}-{{10.3}^{x}}+3=0.$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+2$ có hai điểm cực trị.

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$của hàm số $f\left( x \right)=6x+\sin 3x$, biết $F\left( 0 \right)=\frac{2}{3}.$

Tìm hệ số của ${{x}^{9}}$trong khai triển biểu thức ${{\left( 2{{x}^{4}}-\frac{3}{{{x}^{3}}} \right)}^{4}}.$

Trong không gian với hệ tọa độ \[\text{Ox}yz,\] cho hai véctơ \[\overrightarrow{a}=\left( 2;-3;1 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }\overrightarrow{b}=\left( -1;0;4 \right).\] Tìm tọa độ véctơ \[\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.\]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC và CD. Hỏi thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là hình gì ?

Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi G là trọng tâm tam giác ADC. Tính thể tích khối chóp G.ABC theo V.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{4}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x=-1.$

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( 2;3;4 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }B\left( 5;1;1 \right).\] Tìm tọa độ véctơ \[\overrightarrow{AB}.\]

Hàm số $y=-2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+5$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{e}^{2018x}}.$

Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}.$

Hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

Tìm tập xác định D của hàm số $y={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)$

Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt ?

Cho hàm số $y=\frac{2x-6}{{{x}^{2}}-4x+3}.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?

Cho hàm số $y={{12}^{x}}.$ Khẳng định nào sau đây sai ?

Cho hình nón có chiều cao $2a\sqrt{3}$  và bán kính đáy $2a$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Giải phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+3x}}=1$

Trong không gian với hệ tọa độ \[\text{Ox}yz,\] cho mặt cầu có phương trình \[{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16.\] Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Cho khối lăng trụ có thể tích V, diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng.

Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy $r=4\,cm$ và chiều cao $h=6\,cm.$