Giải thích các bước giải:
1) Ta có:
$\begin{array}{l}
A = {\sin ^6}a + {\cos ^6}a + 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}a\\
= {\left( {{{\sin }^2}a} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}a} \right)^3} + 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}a\\
= {\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}a\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}a\\
= {1^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}a.1 + 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}a\\
= 1
\end{array}$
2) Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AH \bot BC = H\\
\Rightarrow A{H^2} = BH.CH = a.b\\
\Rightarrow \sqrt {ab} = AH\left( 1 \right)
\end{array}$
Lại có:
M là trung điểm của BC $ \Rightarrow AM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{BH + CH}}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}$
$ \Rightarrow AM = \dfrac{{a + b}}{2}\left( 2 \right)$
Mặt khác:
$\begin{array}{l}
AH \bot BC = H\\
\Rightarrow AH \le AM\left( 3 \right)
\end{array}$
Từ (1),(2),(3) $ \Rightarrow \sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow AH = AM \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại A.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
