Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
1. Phân tích thành hàng đẳng thức để phá căn
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
3. Phân tích phương trình \(\left( 1 \right)\) về dạng tích sau đó thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\)Giải chi tiết:1. Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } \).
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } \\A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \\A = \sqrt 2 + 1 - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 3 \\A = - \sqrt 3 .\end{array}\)
2. Giải phương trình: \(\frac{1}{{{x^3}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} + 4\).
Điều kiện xác định: \(x \ne 0;x \ne - 1.\)
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^3}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} + 4\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2} + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + {{\left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}} \right] = 4\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)}^2} + 3\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right] = 4\end{array}\)
Đặt \(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = t\), ta có: \(t\left( {{t^2} - 3t} \right) = 4 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right){\left( {t + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\)
Với \(t = 1:\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Với \(t = 2:\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = - 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 1 = 0\), phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}\).
3. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\sqrt {y + 5} = y - x + 5\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Điều kiện: \(y \ge - 5\).
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {y + 5} + 1} \right) = \left( {y + 5} \right) - 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {y + 5} + 1} \right) = \left( {\sqrt {y + 5} - 1} \right)\left( {\sqrt {y + 5} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {y + 5} + 1} \right)\left( {x - \sqrt {y + 5} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = \sqrt {y + 5} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = y + 5\end{array} \right.\end{array}\)
Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(y + 5 + {y^2} = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1{\rm{ (tm)}} \Rightarrow {x^2} = 6 \Rightarrow x = \sqrt 6 \\y = - 2\;(tm) \Rightarrow {x^2} = 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}x \ge 0} \right)\)
Vậy hệ có tập nghiệm \(\left\{ {\left( {\sqrt 6 ;1} \right),\left( {\sqrt 3 ; - 2} \right)} \right\}\).