Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Sử dụng hệ thức Vi – ét và tính chất cở bản của số chính phương (một số chính phương khi chia \(3\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\))Giải chi tiết:Giả sử phương trình \(2{x^2} + 2ax + 1 - b = 0\) có hai nghiệm nguyên (với \(a,b\) là tham số). Chứng minh rằng \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên và không chia hết cho \(3\).
Phương trình có hai nghiệm suy ra \(\Delta ' = {a^2} + 2b - 2 \ge 0\)
Khi đó theo Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = \frac{{1 - b}}{2}\end{array} \right.\)
Vì hai nghiệm là các số nguyên nên ta có \(a,b\) phải là số nguyên và \(b\) phải là số lẻ. Suy ra \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên.
Khi \(a,b\) là số nguyên thì \(\Delta ' = {a^2} + 2b - 2\) phải là số chính phương.
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: \(a \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right)\)
Nếu \(b \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right)\)
Khi đó \({a^2} - {b^2} + 2\) hiển nhiên không chia hết cho 3
Nếu \(b \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\), hay \({a^2} - {b^2} + 2\) không chia hết cho 3
Nếu \(b \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\)
TH2: \(a \equiv \pm 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right)\)
Nếu \(b \equiv 0\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} + 2b - 2 \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right)\), không thể là số chính phương, không thỏa mãn
Nếu \(b \equiv \pm 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {b^2} \equiv 1\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {a^2} - {b^2} + 2 \equiv 2\left( {\bmod \,3} \right)\) hay \({a^2} - {b^2} + 2\) không chia hết cho 3
Vậy \({a^2} - {b^2} + 2\) là số nguyên và không chia hết cho \(3\).
