Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

a) Nhân liên hợp giải phương trình
b) Đặt ẩn phụ giải hệGiải chi tiết:a) 
Điều kiện xác định: \(x \ge  - \frac{1}{3}\).
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1}  = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \sqrt {x + 1}  - \sqrt {3x + 1}  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \frac{{x + 1 - 3x - 1}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{{2x}}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;(tm)\\\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1} }} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3x + 1}  = 2\sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {x + 1} .\sqrt {3x + 1}  + 3x + 1 = 4\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} .\sqrt {3x + 1}  = 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2 + 2\sqrt 7 }}{3}(tm)\\x = \frac{{ - 2 - 2\sqrt 7 }}{3}(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\frac{{ - 2 + 2\sqrt 7 }}{3}} \right\}\).
b) 
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + x - 12y = 12\\xy + 3{y^2} - x + 6y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x\left( {y + 1} \right) - 12\left( {y + 1} \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{\left( {y + 1} \right)^2} + x\left( {y + 1} \right) - 2x = 0\end{array} \right.\)
Nếu \(x = 0 \Rightarrow y =  - 1\), thỏa mãn.
Nếu \(x \ne 0\) từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow y + 1 \ne 0\), đặt \(y + 1 = kx\) với \(k \ne 0\), ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + k{x^2} - 12kx = 0\,\,\,\,\\3{k^2}{x^2} + k{x^2} - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + k{x^2} = 12kx\,\,\,\,\\3{k^2}{x^2} + k{x^2} = 2x\end{array} \right.\)
Chia vế cho về hai phương trình trên ta được: \(\frac{{1 + k}}{{3{k^2} + k}} = 6k\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 18{k^3} + 6{k^2} - k - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3k - 1} \right)\left( {6{k^2} + 4k + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ có tập nghiệm \(S = \left\{ {\left( {0, - 1} \right);\left( {3,0} \right)} \right\}.\)