Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ số
b) Bài toán phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp
c) Bài toán phương tích – trục đẳng phươngGiải chi tiết:
a) Vì tam giác \(OBC\) cân tại \(O\) nên \(\angle OBC = \frac{{180^\circ  - \angle BOC}}{2} = 90^\circ  - \angle BAC\)
Lại có \(\angle BMO = 90^\circ  - \angle BAC \Rightarrow \angle BMO = \angle OBC \Rightarrow \Delta OBN \sim \Delta OMB\left( {g.g} \right)\)
Suy ra \(\frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OM}}{{OB}} \Rightarrow OM.ON = O{B^2} = {R^2}\).
b) Hoàn toàn tương tự câu a) ta có \(OQ.OP = O{C^2} = {R^2}\)
Xét hai tam giác \(ONQ\) và \(OPM\) có:
\(\frac{{ON}}{{OQ}} = \frac{{OP}}{{OM}}\)
\(\angle NOQ\) chung 
Suy ra \(\Delta ONQ \sim \Delta OPM \Rightarrow \angle ONQ = \angle OPM \Rightarrow NQPM\) là tứ giác nội tiếp hay \(4\) điểm \(M,N,P,Q\) cùng nằm trên một đường tròn.
c) Vì \(O{B^2} = O{C^2} = {R^2}\) nên \(O\) nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMN\) và \(CPQ\)
Mà \(ST\) chính là trục đẳng phương của hai đường tròn này, nên ta có \(O\) nằm trên đường thẳng \(ST\).
Vì \(O,B\) cố định mà \(\angle OHB = 90^\circ \) nên \(H\) chạy trên đường tròn đường kính \(OB\) cố định khi \(A\) di động.