Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel, kết hợp bất đẳng thức AM – GM
Nhận xét: Đây là bài toán lấy từ đề thi chọn đội tuyển thi HSG quốc gia THPT của Bắc Ninh năm 2016Giải chi tiết:Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 9.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(T = \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} - \frac{1}{{\sqrt {ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right)} }}\).
Có \(\frac{1}{{3a + 4b + 5c}} = \frac{2}{{6a + 8b + 10c}} = \frac{2}{{\left( {a + 3b} \right) + 5\left( {a + c} \right) + 5\left( {b + c} \right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{a + 3b}} + \frac{{{{\left( {2,5} \right)}^2}}}{{5\left( {a + c} \right)}} + \frac{{{{\left( {2,5} \right)}^2}}}{{5\left( {b + c} \right)}} \ge \frac{{36}}{{\left( {a + 3b} \right) + 5\left( {a + c} \right) + 5\left( {b + c} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{2}{{\left( {a + 3b} \right) + 5\left( {a + c} \right) + 5\left( {b + c} \right)}} \le \frac{1}{{18}}\left[ {\frac{1}{{a + 3b}} + \frac{5}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{5}{{4\left( {b + c} \right)}}} \right]\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{{ab}}{{a + 3b}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ab}}{{b + c}}\end{array}\)
Tương tự ta có:
 
\(\begin{array}{l}\frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{{bc}}{{b + 3c}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{bc}}{{b + a}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{bc}}{{c + a}}\\\frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{{ca}}{{c + 3a}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ca}}{{c + b}} + \frac{5}{{72}}.\frac{{ca}}{{a + b}}\end{array}\)
Suy ra
 \(\begin{array}{l}\frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}}\\ \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{{ab}}{{a + 3b}} + \frac{{bc}}{{b + 3c}} + \frac{{ca}}{{c + 3a}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{bc}}{{c + a}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {\frac{{ab}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + b}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {\frac{{bc}}{{b + a}} + \frac{{ca}}{{a + b}}} \right)\end{array}\)
Để ý \(\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{bc}}{{c + a}} = b\left( {\frac{a}{{a + c}} + \frac{c}{{c + a}}} \right) = b\)
Suy ra \(\frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{18}}\left( {\frac{{ab}}{{a + 3b}} + \frac{{bc}}{{b + 3c}} + \frac{{ca}}{{c + 3a}}} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {a + b + c} \right)\)
Lại có: \(\frac{1}{a} + \frac{9}{{3b}} \ge \frac{{16}}{{a + 3b}}\) (Cauchy – Schwarz)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{a + 3b}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{3}{b}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{a + 3b}} \le \frac{1}{{16}}ab\left( {\frac{1}{a} + \frac{3}{b}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{a + 3b}} \le \frac{1}{{16}}\left( {b + 3a} \right)\end{array}\)
Suy ra:
 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{18}}.\frac{1}{{16}}\left( {b + 3a + c + 3b + a + 3c} \right) + \frac{5}{{72}}\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{1}{{12}}\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow \frac{{ab}}{{3a + 4b + 5c}} + \frac{{bc}}{{3b + 4c + 5a}} + \frac{{ca}}{{3c + 4a + 5b}} \le \frac{3}{4}\end{array}\)
 
Ta sẽ đi giải quyết đại lượng \(P = \frac{1}{{\sqrt {ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right)} }}\)
Có \(ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right) = \left( {ab + 2bc} \right)\left( {ab + 2ca} \right) \le \frac{{{{\left( {ab + 2bc + ab + 2ca} \right)}^2}}}{4} = {\left( {ab + bc + ca} \right)^2}\)
Lại có \(ab + bc + ca \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 27\)
Suy ra \(\sqrt {ab\left( {a + 2c} \right)\left( {b + 2c} \right)}  \le 27 \Rightarrow P \ge \frac{1}{{27}} \Rightarrow  - P \le  - \frac{1}{{27}}\)
Suy ra \(T \le \frac{3}{4} - \frac{1}{{27}} \Rightarrow T \le \frac{{77}}{{108}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(T\) là \(\frac{{77}}{{108}}\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 3.\)