Giải thích các bước giải:
1.Ta có:
$P=(1-\dfrac{2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{9x-1}):(\dfrac{9\sqrt{x}+6}{3\sqrt{x}+1}-3)$
$\to P=(\dfrac{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)}{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)}-\dfrac{2\sqrt{x}(3\sqrt{x}-1)}{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)}):\dfrac{9\sqrt{x}+6-3(3\sqrt{x}+1)}{3\sqrt{x}+1}$
$\to P=(\dfrac{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)-2\sqrt{x}(3\sqrt{x}-1)+\sqrt{x}+1}{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)}):\dfrac{3}{3\sqrt{x}+1}$
$\to P=(\dfrac{9x-1-(6x-2\sqrt{x})+\sqrt{x}+1}{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)})\cdot\dfrac{3\sqrt{x}+1}{3}$
$\to P=\dfrac{3x+3\sqrt{x}}{(3\sqrt{x}+1)(3\sqrt{x}-1)}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}+1}{3}$
$\to P=\dfrac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}$
b.Để $P=5$
$\to \dfrac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}=5$
$\to x+\sqrt{x}=15\sqrt{x}-5$
$\to x-14\sqrt{x}+5=0$
$\to (\sqrt{x})^2-14\sqrt{x}+5=0$
$\to x=93\pm28\sqrt{11}$
3.Ta có: $P=m$
$\to \dfrac{x+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}-1}=m$
$\to x+\sqrt{x}=3m\sqrt{x}-m$
$\to x+(1-3m)\sqrt{x}+m=0(1)$
Đặt $\sqrt{x}=t$
$\to t^2+(1-3m)t+m=0(*)$
$\to\Delta=(1-3m)^2-4m$
$\to \Delta=9m^2-10m+1$
$\to \Delta=(m-1)(9m-1)>0$ vì $m>1$
$\to \Delta>0$
$\to$Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt
Mà $\begin{cases}t_1+t_2=-(1-3m)\\t_1t_2=m\end{cases}$
$\to \begin{cases}t_1+t_2=3m-1\\t_1t_2=m\end{cases}$
$\to \begin{cases}t_1+t_2>0\\t_1t_2>0\end{cases}$ vì $m>1$
$\to$Phương trình có $2$ nghiệm dương
$\to (1)$ có $2$ nghiệm
$\to$Luôn có $2$ giá trị của $x$ để $P=m$ với $m>1$
