Đáp án:
M không là số tự nhiên
Giải thích các bước giải:
$\frac{x}{x+y+z} > \frac{x}{x+y+z+t}$
$\frac{y}{x+y+t} > \frac{y}{x+y+z+t}$
$\frac{z}{y+z+t} > \frac{z}{x+y+z+t}$
$\frac{t}{z+t+x} > \frac{t}{x+y+z+t}$
$⇒ M = \frac{x}{x+y+z} + \frac{y}{x+y+t} + \frac{z}{y+z+t} + \frac{t}{z+t+x} > \frac{x}{x+y+z+t} + \frac{y}{x+y+z+t} + \frac{z}{x+y+z+t} + \frac{t}{x+y+z+t}$
$⇒ M > \frac{x}{x+y+z+t} + \frac{y}{x+y+z+t} + \frac{z}{x+y+z+t} + \frac{t}{x+y+z+t}$
$⇒ M > \frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}$
$⇒ M > 1 $
Ta chứng minh tính chất $\frac{a}{b} > 1 ⇒ \frac{a+m}{b+m} > \frac{a}{b}$
Ta có : $1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$
$1 - \frac{a+m}{b+m} = \frac{b-a}{b+m}$
Vì $ \frac{b-a}{b+m} < \frac{b-a}{b} $
$⇒ \frac{a}{b} < \frac{a+m}{b+m} $
Áp dụng tính chất nên ta có
$M < \frac{x+t}{x+y+z+t} + \frac{y+z}{x+y+z+t} + \frac{z+x}{x+y+z+t} + \frac{t+y}{x+y+z+t}$
$⇒ M < \frac{(x+t)+(y+z)+(z+x)+(t+y)}{x+y+z+t}$
$⇒ M < \frac{2( x +y + z + t ) }{x+y+z+t}$
$⇒ M < 2 $
Mà có $M > 1 $
$⇒ M ∉ N $
Vậy M không là số tự nhiên
