a) Ta có: ΔABC cân tại A => góc ABC = góc ACB
Mà góc ABC + góc ABM = 180 độ (kề bù)
góc ACB + góc ACN = 180 độ (kề bù)
=> góc ABM = góc ACN
Xét ΔAMB và ΔANC có:
+ ΔABC cân tại A => AB = AC (định nghĩa)
+ góc ABM = góc ACN (chứng minh trên)
+ BM = CN
=> ΔAMB = ΔANC (cgc) => AM = AN (2 cạnh tương ứng) => ΔAMN cân tại A (định nghĩa)
b) Xét ΔBHM và ΔCKN có:
+ BH ⊥ AM; CK ⊥ AN => góc BHM = góc CKN = 90 độ (tính chất)
+ BM = CN
+ ΔAMN cân tại A => góc AMN = góc ANC => góc BMH = góc CNK
=> ΔBHM = ΔCKN (ch-gn) => BH = CK (2 cạnh tương ứng)
c) Xét ΔAHB và ΔAKC có:
+ BH ⊥ AM; CK ⊥ AN => góc AHB = góc AKC = 90 độ (tính chất)
+ AB = AC (chứng minh a)
+ BH = CK (chứng minh b)
=> ΔAHB = ΔAKC (ch-cgv) => AH = AK (2 cạnh tương ứng)
d) Có: ΔBHM = ΔCKN (chứng minh b) => góc HBM = góc KCM (2 góc tương ứng)
Mà góc HBM = góc CBO; góc KCM = góc OCB (đối đỉnh)
=> góc CBO = góc OCB => ΔOCB cân tại O (dhnb)
e) ΔABC cân tại A có: góc BAC = 60 độ (giả thiết)
=> ΔABC đều (dhnb) => góc BAC = góc ABC = góc ACB = 60 độ (tính chất)
và AB = AC = BC (định nghĩa)
Mà BC = BM = CN (giả thiết)
=> BM = AB = CN = AC
=> Δ AMB cân tại B; ΔACN cân tại C (định nghĩa)
=> góc CAN = góc CNA = (180 độ - góc ACN) : 2 (1)
và góc BMA = góc MAB = (180 độ - góc ABM) : 2 (2)
Mà góc ABC = góc ACB = 60 độ (chứng minh trên)
góc ABC + góc ABM = 180 độ; góc ACB + góc ACN = 180 độ
=> góc ABM = góc ACN = 120 độ (3)
Từ (1), (2), (3) => góc BMA = góc MAB = góc ABC = góc ACB = 30 độ
Mà góc MAN = góc MAB + góc BAC + góc CAN = 30 độ + 60 độ + 30 độ = 120 độ
Vậy số đo các góc của ΔAMN là: góc AMN = 120 độ, góc ANM = góc AMN = 30 độ
Xét ΔCKN có: góc CKN = 90 độ => góc KCN + góc KNC = 90 độ
Mà góc KNC = 30 độ (chứng minh trên)
=> góc KCN = 60 độ
Mà góc KCN = góc OCB (đối đỉnh)
=> góc OCB = 60 độ
Mà ΔOCB cân tại O (chứng minh d)
=> ΔOCB đều (dhnb)
