a.

- TXĐ: D = R \ {1}

- Sự biến thiên: $y'=\frac{-3}{(x-1)^{2}},y'<0,\forall x\in D$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$

- Giới hạn:

$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}y=-\infty;\lim _{x\rightarrow 1^{+}}y=+\infty;\lim _{x\rightarrow -\infty}y=2;\lim _{x\rightarrow +\infty}=2$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2

- Bảng biến thiên:

- Đồ thị

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; -1); cắt trục hoành tại điểm $(-\frac{1}{2};0)$

Đồ thị nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng

b.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (1) là

$\frac{2x+m}{x-1}=x+2\; \; (2)$ Điều kiện $xeq 1$

$(2)\Leftrightarrow 2x+m=(x-1)(x+2)\Leftrightarrow x^{2}-x-2-m=0\; \; (3)$

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Điều kiện cần và đủ là:

$\left\{\begin{matrix} \Delta >0\\1-1-2-meq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+8+4m>0\\ meq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-\frac{9}{4}\\meq 2 \end{matrix}\right.$

Khi đó gọi các nghiệm của phương trình (3) là x1; x2. Tọa độ các giao điểm A(x1; x1 + 2); B(x2; x2 + 2)

$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}=\sqrt{2(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2(1-4(-2-m))}=\sqrt{2(9+4m)}$

$d:y=x+2\Leftrightarrow x-y+2=0.$ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là $d(O;d)=\frac{\left | 2 \right |}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Diện tích tam giác $OAB=\sqrt{21}\Leftrightarrow \frac{1}{2}d(O;d).AB=\sqrt{21}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{2}.\sqrt{2(9+4m)}=\sqrt{21}\Leftrightarrow 9+4m=21\Leftrightarrow m=3$