Gọi H là trung điểm của \(AB\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp (ABCD)\)
Suy ra HC là hình chiếu của SC lên \((ABCD)\Rightarrow \widehat{SCH}=45^{\circ}\)
\(S_{ABCD}=2a^{2}\)
\(SH=HC=\sqrt{4a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{17}}{2}.2a^{2}=\left | \frac{a^{3}\sqrt{17}}{3} \right |\)
\(d(M,(SAC))=\frac{1}{2}d(D,(SAC))=\frac{1}{2}d(B,(SAC))=d(H,(SAC))\)
Kẻ \(HI\perp AC,HK \perp SI\Rightarrow HK \perp AC\Rightarrow HK \perp (SAC)\Rightarrow d(H;(SAC))= HK.\)
Kẻ \(BE \perp AC\Rightarrow HI=\frac{1}{2}BE.\frac{1}{BE^{2}}=\frac{1}{BA^{2}}+\frac{1}{BC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{4a^{2}}=\frac{5}{4a^{2}}\Rightarrow BE=\frac{2a}{\sqrt{5}}\Rightarrow HI=\frac{a}{\sqrt{5}}\)
Từ đó suy ra: \(\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{HI^{2}}+\frac{1}{HS^{2}}=\frac{5}{a^{2}}+\frac{4}{17a^{2}}=\frac{89}{17a^{2}}\)
\(\Rightarrow d(M,(SAC))=\frac{a\sqrt{17}}{\sqrt{89}}=\frac{a\sqrt{1513}}{89}\)
