Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 và a + b >2c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(a+b)}$

Ngochanguyen612001

6 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 271 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thaotttt

Ta chứng minh bất đẳng thức $(m^3+n^3)(p^3+q^3)(r^2+s^3)\geq (mpr+nps)^3(*)$
với m, n, p, q, r, s là các số thực dương. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
$\frac{m^3}{m^3+n^3}+\frac{p^3}{p^3+q^3}+\frac{r^3}{r^3+s^3}\geq \frac{ 3mpr}{\sqrt[3]{(m^3+n^3)(p^3+q^3)(r^3+s^3)}}$
$\frac{n^3}{m^3+n^3}+\frac{q^3}{p^3+q^3}+\frac{s^3}{r^3+s^3}\geq \frac{ 3nqs}{\sqrt[3]{(m^3+n^3)(p^3+q^3)(r^3+s^3)}}$
Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được bất đẳng thức (*).
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có
$\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} \right )^2a^2(a+c)+b^2(c+a)\geq (a+b)^3$
Mặt khác
$a^2(b+c)+b^2(c+a)-\frac{(a+b)^3}{4}-\frac{c(a+b)^2}{2}=-\frac{(a-b)^2(a+b-2c) }{4}\leq 0$
$\Leftrightarrow a^2(b+c)+b^2(c+a)\leq \frac{(a+b)^3}{4}+\frac{c(a+b)^2}{2}= \frac{(a+b)^2(a+b+2c)}{4}$
Suy ra $\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}\right )^2\geq \frac{(a+b)^ 3}{\underbrace{(a+b)^2(a+b+2c)}_{4}}=\frac{4(a+b)}{a+b+2c}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{a+b+2c}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Do đó
$P\geq 2\sqrt{\frac{1-c}{1+c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(1-c)}$
Xét hàm số $f(c)=2\sqrt{\frac{1-c}{1+c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(1-c)}$ , với $c\in \left ( 0;\frac{1}{3} \right )$
Có $f'(c)=\frac{-2}{(1+c)\sqrt{1-c^2}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(1-c)^2};f'(c)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{4}$

Từ bảng biến thiên, suy ra $f(c)\geq f\left ( \frac{1}{4} \right )=\frac{18\sqrt{15}}{25},\forall c\in \left ( 0;\frac{1}{3} \right )$
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{18\sqrt{15}}{25}$ , đạt được khi $a=b=\frac{3}{8},c=\frac{1}{4}$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho hai đường thẳng d1 d2; lần lượt có phương trình: $d_1:\frac{x-7}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-9}{-1}$ và $d_1:\frac{x-3}{-7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt d1 d2; và trục Ox lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho B là trung điểm của AC.

Trong không gian hệ Oxyz, cho hai điểm A(0 ; 0; -3), B( 2; 0; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình 3x – 4y + z – 1 =0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng AB.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = $\small a\sqrt{2}$ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm tam giác. Đường thẳng SD tạo với đáy ABCD một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD theo a.

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D'. Đáy ABCD là hình thoi cạnh a; A'C $=a\sqrt{2}$ ; góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (ADD'A') bằng 450. Tính theo a thể tích khối hộp đã cho và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (A'BC).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC = 2a. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, mặt bên (SAC) hợp với mặt đáy một góc 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCI), biết rằng I là trung điểm của cạnh AB.

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho hàm số $y=-2x^3+3mx^2-1$ (1). Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (x1;x2) với x2 - x1 = 1.

Tính tích phân $I = \int_{1}^{e}x(5\sqrt{x}+lnx)dx$

Help me!

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{x^2+y^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4y^2+2x+1}+3x(3x-4y)+\frac{20y^2-9y+42}{5}$

Cứu với mọi người!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a AD = a,K là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC, các điểm H M, lần lượt là trung điểm của AK và DC, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCDvà khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho hàm số $y=-x^3+3x-2$ (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng d: $y=-x-2$ biết tọa độ tiếp điểm có hoành độ dương.