Ta chứng minh bất đẳng thức (m3+n3)(p3+q3)(r2+s3)≥(mpr+nps)3(∗) với m, n, p, q, r, s là các số thực dương. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có m3+n3m3+p3+q3p3+r3+s3r3≥3(m3+n3)(p3+q3)(r3+s3)3mpr m3+n3n3+p3+q3q3+r3+s3s3≥3(m3+n3)(p3+q3)(r3+s3)3nqs Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được bất đẳng thức (*). Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có (b+ca+c+ab)2a2(a+c)+b2(c+a)≥(a+b)3 Mặt khác a2(b+c)+b2(c+a)−4(a+b)3−2c(a+b)2=−4(a−b)2(a+b−2c)≤0 ⇔a2(b+c)+b2(c+a)≤4(a+b)3+2c(a+b)2=4(a+b)2(a+b+2c) Suy ra (b+ca+c+ab)2≥4(a+b)2(a+b+2c)(a+b)3=a+b+2c4(a+b) ⇔b+ca+c+ab≥2a+b+2ca+b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Do đó P≥21+c1−c+25(1−c)615 Xét hàm số f(c)=21+c1−c+25(1−c)615, với c∈(0;31) Có f′(c)=(1+c)1−c2−2+25(1−c)2615;f′(c)=0⇔c=41
Từ bảng biến thiên, suy ra f(c)≥f(41)=251815,∀c∈(0;31) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 251815, đạt được khi a=b=83,c=41