Ta có: $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=1\Rightarrow (\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5}+2)^{-1}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\log _{\sqrt{5}+2}(x^{2}+mx+m+1)-\log _{\sqrt{5}+2}x=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x>0\\ x^{2}+mx+m+1=x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x>0\\ x^{2}+(m-1)x+m+1=0\; \; \; \; (*) \end{matrix}\right.$

1.

Với m = -2 phương trình (*) có dạng:

$x^{2}-3x-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\; \; (l) \end{matrix}$

Vậy với m = -2 phương trình có một nghiệm: $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}.$

2.

Để phương trình đã cho có duy nhất nghiệm thì phương trình (*) có duy nhất một nghiệm dương, ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép dương

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta =0\\ -\frac{b}{2a}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-1)^{2}-4m-4=0\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! -\frac{m-1}{2}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2}-6m-3=0\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! m<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \big \lbrack\begin{matrix} m=3+2\sqrt{3}\\ m=3-2\sqrt{3} \end{matrix}\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! m<1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m=3-2\sqrt{3}$

Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn $x_{1}\leq 0\leq x_{2}$

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_{1}=00\\ P=0 \\S>0 \end{matrix}\right.\\ P<0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} m^{2}-6m-3>0\\ m+1=0 \\ 1-m>0 \end{matrix}\right.\\ m+1<0 \end{matrix}\)

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=-1\\ m&lt;-1 \end{matrix}\Leftrightarrow m\leq -1$

Vậy $m \in (-\infty;-1)\cup \left \{ 3-2\sqrt{3} \right \}$ là giá trị cần tìm.

(Thí sinh có thể giải ý này bằng hàm số)