Gọi H là trung điểm A'B', vì \(AH \perp (A'B'C')\) nên góc giữa AC' và (A'B'C') là \((AC'; HC') = \widehat{AC'H} = 60^0\)
Ta có: \(A'B' = AB = a; B'C' = BC = 2a; B'H = \frac{A'B'}{2} = \frac{a}{2}\)
Áp dụng định lí cosin vào tam giác HB'C' ta có:
\(HC'^2 = HB'^2 + B'C'^2 - 2HB'. B'C' . \cos 120^0 = \frac{21a^2}{4} \Rightarrow H'C = \frac{a\sqrt{21}}{2}\)
∆AHC' vuông tại H: \(AH = HC' . \tan 60^0 = \frac{3a\sqrt{7}}{2}\)
Diện tích ∆ABC: \(S_{ABC} = \frac{1}{2}AB . BC . \sin 120^0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Thể tích lăng trụ: \(V_{ABC.A'B'C'} = AH . S_{ABC} = \frac{3a^3\sqrt{21}}{4}\)
Gọi M là trung điểm AB. Vẽ \(MK \perp BC\) tại K
Ta có AHB'M là hình chữ nhật. Suy ra \(B'M \perp (ABC) \Rightarrow BC \perp B'M \Rightarrow BC \perp (B'MK)\)
Suy ra \(BC \perp B'K\)
Vậy góc giữa (BCC'B') và (ABC) là \(\alpha = (MK;KB') = \widehat{MKB'}\)
Ta có: \(B'M = AH = \frac{3a\sqrt{7}}{2}\)
∆MKB vuông tại K: \(MK = MB .\sin 60^0 = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)
∆MKB' vuông tại M: \(\tan \alpha = \frac{B'M}{MK} = 2\sqrt{21}\)
Vậy góc giữa (BCC'B') và (ABC) là \(\alpha = \arctan 2\sqrt{21}\)
