Gọi H là trung điểm A'B', vì A H ⊥ ( A ′ B ′ C ′ ) AH \perp (A'B'C') A H ⊥ ( A ′ B ′ C ′ ) ( A C ′ ; H C ′ ) = A C ′ H ^ = 6 0 0 (AC'; HC') = \widehat{AC'H} = 60^0 ( A C ′ ; H C ′ ) = A C ′ H = 6 0 0
Ta có: A ′ B ′ = A B = a ; B ′ C ′ = B C = 2 a ; B ′ H = A ′ B ′ 2 = a 2 A'B' = AB = a; B'C' = BC = 2a; B'H = \frac{A'B'}{2} = \frac{a}{2} A ′ B ′ = A B = a ; B ′ C ′ = B C = 2 a ; B ′ H = 2 A ′ B ′ = 2 a
Áp dụng định lí cosin vào tam giác HB'C' ta có:
H C ′ 2 = H B ′ 2 + B ′ C ′ 2 − 2 H B ′ . B ′ C ′ . cos 12 0 0 = 21 a 2 4 ⇒ H ′ C = a 21 2 HC'^2 = HB'^2 + B'C'^2 - 2HB'. B'C' . \cos 120^0 = \frac{21a^2}{4} \Rightarrow H'C = \frac{a\sqrt{21}}{2} H C ′ 2 = H B ′ 2 + B ′ C ′ 2 − 2 H B ′ . B ′ C ′ . cos 1 2 0 0 = 4 2 1 a 2 ⇒ H ′ C = 2 a 2 1
∆AHC' vuông tại H: A H = H C ′ . tan 6 0 0 = 3 a 7 2 AH = HC' . \tan 60^0 = \frac{3a\sqrt{7}}{2} A H = H C ′ . tan 6 0 0 = 2 3 a 7
Diện tích ∆ABC: S A B C = 1 2 A B . B C . sin 12 0 0 = a 2 3 2 S_{ABC} = \frac{1}{2}AB . BC . \sin 120^0 = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} S A B C = 2 1 A B . B C . sin 1 2 0 0 = 2 a 2 3
Thể tích lăng trụ: V A B C . A ′ B ′ C ′ = A H . S A B C = 3 a 3 21 4 V_{ABC.A'B'C'} = AH . S_{ABC} = \frac{3a^3\sqrt{21}}{4} V A B C . A ′ B ′ C ′ = A H . S A B C = 4 3 a 3 2 1
Gọi M là trung điểm AB. Vẽ M K ⊥ B C MK \perp BC M K ⊥ B C
Ta có AHB'M là hình chữ nhật. Suy ra B ′ M ⊥ ( A B C ) ⇒ B C ⊥ B ′ M ⇒ B C ⊥ ( B ′ M K ) B'M \perp (ABC) \Rightarrow BC \perp B'M \Rightarrow BC \perp (B'MK) B ′ M ⊥ ( A B C ) ⇒ B C ⊥ B ′ M ⇒ B C ⊥ ( B ′ M K )
Suy ra B C ⊥ B ′ K BC \perp B'K B C ⊥ B ′ K
Vậy góc giữa (BCC'B') và (ABC) là α = ( M K ; K B ′ ) = M K B ′ ^ \alpha = (MK;KB') = \widehat{MKB'} α = ( M K ; K B ′ ) = M K B ′
Ta có: B ′ M = A H = 3 a 7 2 B'M = AH = \frac{3a\sqrt{7}}{2} B ′ M = A H = 2 3 a 7
∆MKB vuông tại K: M K = M B . sin 6 0 0 = a 3 4 MK = MB .\sin 60^0 = \frac{a\sqrt{3}}{4} M K = M B . sin 6 0 0 = 4 a 3
∆MKB' vuông tại M: tan α = B ′ M M K = 2 21 \tan \alpha = \frac{B'M}{MK} = 2\sqrt{21} tan α = M K B ′ M = 2 2 1
Vậy góc giữa (BCC'B') và (ABC) là α = arctan 2 21 \alpha = \arctan 2\sqrt{21} α = arctan 2 2 1
