Cho ba số thực dương a, b, c thỏa điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\a\geq b\geq c \end{matrix}\right.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=\frac{a^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{7}{8}\sqrt{1+c^{2}}\)

ThuyDung

5 năm trước

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\a\geq b\geq c \end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=\frac{a^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{7}{8}\sqrt{1+c^{2}}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 215 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ice1137

Ta có: \(\frac{a^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{5}{8}a-\frac{3}{8}b\) và dấu "=" xảy ra khi a = b

CM: \(8a^{4}\geq (5a-3b)(a+b)(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow 3a^{4}+3b^{4}\geq 2ab^{2}+2a^{3}b+2ab^{3}\Rightarrow\)đúng

Ta có: \(\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2}{3}b-\frac{1}{3}a\) và dấu "=" xảy ra khi a = b

CM: \(3b^{3}\geq (2b-a)(a^{2}+ab+b^{2})\Leftrightarrow b^{3}+a^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\) đúng \(\forall \: a;b>0\)

\(\Rightarrow M\geq \frac{5}{8}a-\frac{3}{8}b+\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}a+\frac{7}{8}.\sqrt{1+c^{2}}\Leftrightarrow M\geq \frac{7}{24}a+\frac{7}{24}b+\frac{7}{8}\sqrt{1+c^{2}}\)

Do \(a+b+c=1\Leftrightarrow a+b=1-c\Rightarrow M\geq \frac{7}{8}\left ( \frac{1-c}{3}+\sqrt{1+c^{2}} \right )\)

Đặt \(f(c)=\frac{1}{3}-\frac{c}{3}+\sqrt{1+c^{2}}\) với \(00\\a+b+c=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 0

\(f'(c)=-\frac{1}{3}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}=\frac{3c-\sqrt{1+c^{2}}}{3\sqrt{1+c^{2}}}<0\)

(Vì \(c\leq \frac{1}{3}\Rightarrow 3c\leq 1\) và \(\sqrt{1+c^{2}}>1\)

Suy ra hàm số f(c) liên tục và nghịch biến trên \((0;\frac{1}{3}]\)

\(\Rightarrow f(c)\geq f\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\sqrt{1+\frac{1}{9}}=\frac{2}{9}+\frac{\sqrt{10}}{3}\Rightarrow M\geq \frac{7}{8}.\left ( \frac{2}{9}+\frac{\sqrt{10}}{3} \right )\)

KL: GTNN của M là: \(\frac{7}{8}.\left ( \frac{2}{9}+\frac{\sqrt{10}}{3} \right )\) khi \(c=\frac{1}{3}=a=b\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD, có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân tại C có BCD = 1200 , SA = a và SA \(\perp\) (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:
\((d): \left\{\begin{matrix} x= 1+2t\\ y= 2-t\\ z= 3+t \end{matrix}\right.\) \((P): 2x+y+z+1 = 0\)
Tìm tọa độ điểm A là giao của đường thẳng (d) với (P). Viết phương trình đường thẳng qua A nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc \(\widehat{BAD}=60^{\circ}.\) Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm \(\triangle ABC.\) Góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) bằng \(60^{\circ}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;2;2), B(0;0;7) và đường thẳng \(d: \frac{x-3}{-2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-1}{1}\). Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC cân đỉnh A.

Giải phương trình: \(3^{2x+1}+6^x-2^{2x+1}=0\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(x=-x^4+2mx^2+m^3+2m\) đạt cực đại tại x = -1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là A (5; 1; 3), B (1; 6; 2), C (6; 2; 4) và D (4; 0; 6).

1) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua đỉnh D và song song với mặt phẳng (ABC).

2) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Tính nguyên hàm \(\small \int x\left ( e^{3x}+\frac{1}{x^2+1} \right )dx\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc \(\widehat{BAD}=60^0\) ; Các mặt phẳng (SAD) và (SAB) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); Góc tạo bởi SC với mp(ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng NC và SD với N là điểm năm trên cạnh AD sao cho DN = 2AN.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-5}{4};(P): 2x+2y-z+1=0\). Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2; 3) và đi qua A

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến