Bài 12
Xét hso
$y = \dfrac{1}{3} x^3 - mx^2 + (m-7)x +5$
Ta có
$y' = x^2 - 2mx + m-7$
Để hso nghịch biến trên $[-1,3]$ thì ta phải có $y' < 0$ trên $[-1, 3]$. Ta có
$\Delta' = m^2 - m + 7 > 0$ với mọi $m$.
Do đó ptrinh luôn có 2 nghiệm và kết hợp vs đk ta có
$m - \sqrt{m^2 - m + 7} \leq -1$ và $m + \sqrt{m^2 - m + 7} \geq 3$
Bước 1: $m - \sqrt{m^2 - m + 7} \leq -1$
Bptrinh trên tương đương vs
$m + 1 \leq \sqrt{m^2 - m + 7}$
TH1: Với $m < -1$ thì bptrinh trên đúng với mọi $m$.
TH2: Với $m \geq -1$, bình phương 2 vế ta có
$m^2 + 2m + 1 \leq m^2 - m + 7$
$<-> 3m \leq 6$
$<-> m \leq 2$
Kết hợp vs đk trên ta có $-1 \leq m \leq 2$
Suy ra $m \in \{-1, 0, 1, 2\}$.
Bước 2: $m + \sqrt{m^2 - m + 7} \geq 3$
Bptrinh trên tương đương vs
$\sqrt{m^2 - m + 7} \geq 3-m$
TH1: Với $m > 3$ thì bptrinh trên đúng với mọi $m$.
TH2: Với $m \leq 3$, bình phương 2 vế ta có
$m^2 - m + 7 \geq m^2 - 6m + 9$
$<-> 5m \geq 2$
$<-> m \geq \dfrac{2}{5}$
Kết hợp vs đk trên ta có $\dfrac{2}{5} \leq m \leq 3$
Vậy $m \in \{1, 2, 3\}$
Lấy giao của hai tập hợp trên ta có
$m \in \{1, 2\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$.
Đáp án B.
