Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

ltddtlc

5 năm trước

Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 532 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

taitran18112016@gmail.com

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
\(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\)
Tương tự, ta có \(\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq\frac{4b^2}{9(c+b)^2}\)

Suy ra \(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}\geq \frac{4}{9}\left ( \frac{a^2}{(b+c)^2} +\frac{b^2}{(c+a)^2}\right )\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}\right )^2\)

\(=\frac{2}{9}\left ( \frac{a^2+b^2+c(a+b)}{ab+c(a+b)+c^2} \right )^2\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{\frac{(a+b)^2}{2}+c(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)+c^2} \right )\)
\(=\frac{2}{9}\left ( \frac{2(a+b)^2+4c(a+c)}{(a+b)^2+4c(a+b)+4c^2} \right )\)
Vì \(a +b +c = 1\Leftrightarrow a+b=1-c\) nên
\(P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{2(1-c)^2+4c(1-c)}{(1-c)^2+4c(1-c)+4c^2} \right )-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+2})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
Xét hàm số \(f(c)=\frac{8}{9}(1-\frac{2}{c+1})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\) với \(c\in (0;1)\)
Ta có \(f'(c)=\frac{16}{9}\left (1-\frac{2}{c+1} \right )-\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
\(f'(c)=0\Leftrightarrow (c-1)(64-(3c+3)^3)=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\)
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(c)\geq -\frac{1}{9}\) với mọi \(c\in (0;1)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq -\frac{1}{9}\) dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(-\frac{1}{9}\), đạt khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho các số thực x, y thỏa mãn \((x-4)^{2}+(y-4)^{2}+2xy\leq 32.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^{3}+y^{3}+3(xy-1)(x+y-2).\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, SA \(\perp\) mp (ABCD), SC tạo với mp (ABCD) một góc 450 và \(SC=2a\sqrt{2}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mp (SCD) theo a .

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc \(\widehat{ABC} = 60^0\), hai mặt phẳng (SAC)và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.

Tính tích phân: \(I=\int_{1}^{5}(3x+1)\sqrt{2x-1}dx\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Tính nguyên hàm: \(I=\int \frac{dx}{\sqrt{2x-1}+4}\)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=\frac{-x+1}{2x+3}\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x-y+2z+7=0\) . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, đáy AB bằng 2a và góc . Mặt phẳng (C’AB) tạo với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và CB'.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC theo a

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+3x+2}dx.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến