*Tính thể tích
Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác CAB cân tại C suy ra AB $\perp$ CM. Mặt khác AB $\perp$ CC’ $\Rightarrow$ AB $\perp$ (CMC’) $\Rightarrow \widehat{CMC}=60^0$. Gọi V là thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ thì $V=S_{ABC}.CC'$
Ta có $CM=BM.tan30^0=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}CM.AB=\frac{a^2}{\sqrt{3}}$
$CC'=CM.tan60^0=\frac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=a\Rightarrow V=\frac{a^2}{\sqrt{3}}a=\frac{a^3}{\sqrt{3}}$
*Tính khoảng cách
Gọi E đối xứng với A’ qua C’. Suy ra ACEC’ là hình bình hành
Nên AC' // CE $\subset (CB'E)\Rightarrow AC' //(CB'E)$ mà $B'C\subset (CB'E)$
Do đó $d(AC',B'C)=d(AC',(EB'C))=d(C'(EB'C))$
Tam giác A’B’E có A’C’ = C’E = B’C’ nên tam giác A’B’E vuông tại B’.
Gọi K là trung điểm B’E, ta có tam giác B’C’E cân tại C’ nên
$\left.\begin{matrix} C'K\perp B'E\\ CC'\perp (A'B'C')=(A'B'E)\Rightarrow CC'\perp B'E \end{matrix}\right\}\Rightarrow B'E\perp (CC'K)$
Kẻ $C'H \perp CK \Rightarrow C'H \subset (CC'K)$ mà $B'E \perp (CC'K) \Rightarrow B'E \perp C'H$
Từ đó $\Rightarrow C'H \perp (CB'E)$ hay $C'H = d(C', (CB'E))$
Ta tính được $CB=\frac{2a}{\sqrt{3}}\Rightarrow C'B'=C'E=CB=\frac{2a}{\sqrt{3}}$
Lại có $\widehat{ABC}=30^0$, tam giác ABC cân tại C nên $\widehat{ACB}=120^0=\widehat{A'C'B'}\Rightarrow \widehat{B'C'E}=60^0$
Nên tam giác B'C'E đều; tính được $C'K=\sqrt{B'C'^2-(\frac{B'E}{E})^2}=a$
Tam giác CC’K vuông cân tại C’ do đó $C'H=\frac{CK}{2}=\frac{\sqrt{CC'^2+CK^2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Vậy $d(AC', CB')= C'H=\frac{a\sqrt{2}}{2}$