Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}\)

Stupid

5 năm trước

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 2817 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

caodangduong1qb

Vì x, y, z thuộc đoạn [1;2], nên ta có:
\((x-1)(y-2)(z-2)\geq 0\Leftrightarrow xyz+2(2x+y+z)\geq 2(y+z)x+yz+4\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1 hoặc y = 2 hoặc z = 2. Do đó và do \(x \geq 1\) nên ta có
\(P\leq \frac{2(xy+yz+zx)}{2(y+z)x+yz+4}+\frac{8}{2(y+z)x+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}\)
\(P\leq 1+\frac{yz+4}{2(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}\) . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(P\leq 1+\frac{yz+4}{yz+4\sqrt{yz}+4}-\frac{2\sqrt{yz}+4}{\sqrt{yz}+1}\)
Đặt \(t=\sqrt{yz}\)với \(t\in \left [ 1;2 \right ]\)
Xét hàm số \(f(t)=1+\frac{t^2+4}{(t+2)^2}-\frac{2t+4}{t+1}\) trên \(\left [ 1;2 \right ]\)
\(\Rightarrow f'(t)=\frac{4t-8}{(t+2)^2}+\frac{2}{(t+1)^2}>0\) với mọi t thuộc đoạn \(\left [ 1;2 \right ]\)
Vì \(\frac{4t-8}{(t+2)^2}\geq -\frac{4}{27};\frac{2}{(t+1)^2}\geq \frac{2}{9}\)
\(P\leq max_{t\in \left [ 1;2 \right ]}f(t)=f(2)=-\frac{7}{6}\)
Giá trị lớn nhất của P bằng \(-\frac{7}{6}\) khi x = 1 y = z = 2

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho x, y, z > 0 và \(5(x^2 + y^2 + z^2) = 9(xy + 2yz + zx)\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{y^2 + z^2} - \frac{1}{(x+y+z)^3}\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=(e+1)x,y=(e^x+1)x\)

Cho hàm số \(y=x^3-3x+2 \ \(1)\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm m để phương trình \(x^3-3x+1-m=0\) có ba nghiệm phân biệt.

Bài này phải làm sao mọi người?

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x-1}{2x-1}\) trên đoạn [2;4]

Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm GTLN của biểu thức

\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(f(x)=2x-\sqrt{1-x^2}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số \(y=-x^3+3x\)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và (x + z) (z + y) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{4}{(x+z)^{2}}+\frac{4}{(y+z)^{2}}\)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại \(A, BC = a, AA’= a\sqrt{2}\) và \(cos\widehat{BA'C}=\frac{5}{6}\)
1. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’
2. Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C).

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho đường thẳng \(d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}\) và \((P):3x+5y-z-2=0\)
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P)
b) Viết phương trình (Q) đi qua M0(1;2;-1) và vuông góc với d
c) Tìm tọa độ B' đối xứng với B(1;0;-1) qua (P)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến