Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và (x + z) (z + y) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{4}{(x+z)^{2}}+\frac{4}{(y+z)^{2}}\)

lyd7676

6 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 309 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

01884017396

Đặt x + z = a. Từ giả thiết ta có (x + z) (y + z) = 1 suy ra \(y+z=\frac{1}{a}\)

Do x > y ⇒ x + z > y + z ⇒ a > 1

Ta có \(x-y=x+z-(y+z)=a-\frac{1}{a}=\frac{a^{2}-1}{a}\)

\(P=\frac{a^{2}}{(a^{2}-1)^{2}}+\frac{4}{a^{2}}+4a^{2}=\frac{a^{2}}{(a^{2}-1)^{2}}+3a^{2}+a^{2}+\frac{4}{a^{2}}\)

Khi đó \(P\geq \frac{a^{2}}{(a^{2}-1)^{2}}+3a^{2}+4\)

Đặt \(t=a^{2}>1.\) Xét hàm số \(f(t)=\frac{t}{(t-1)^{2}}+3t+4\) với t > 1

Ta có \(f'(t)=\frac{-t-1}{(t-1)^{3}}+3\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow (t-2)(3t^{2}-3t+2)=0\Leftrightarrow t=2\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng biến thiên có \(f(t)\geq 12,\forall t>1.\) Từ (1) và (2) \(P\geq 12.\) Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x+z=\sqrt{2}\\y+z=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right..\) Chẳng hạn khi \(\left\{\begin{matrix} x=1;z=\sqrt{2}-1\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}+1=1-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại \(A, BC = a, AA’= a\sqrt{2}\) và \(cos\widehat{BA'C}=\frac{5}{6}\)
1. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’
2. Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C).

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho đường thẳng \(d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}\) và \((P):3x+5y-z-2=0\)
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P)
b) Viết phương trình (Q) đi qua M0(1;2;-1) và vuông góc với d
c) Tìm tọa độ B' đối xứng với B(1;0;-1) qua (P)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có điểm A(4; -1; 5) và điểm B(-2; 7; 5). Tìm tọa độ điểm C, D biết tâm hình vuông thuộc mặt phẳng (Oxy).

Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Cho các số thực x, y thỏa mãn \((x-4)^{2}+(y-4)^{2}+2xy\leq 32.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x^{3}+y^{3}+3(xy-1)(x+y-2).\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, SA \(\perp\) mp (ABCD), SC tạo với mp (ABCD) một góc 450 và \(SC=2a\sqrt{2}\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mp (SCD) theo a .

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc \(\widehat{ABC} = 60^0\), hai mặt phẳng (SAC)và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.

Tính tích phân: \(I=\int_{1}^{5}(3x+1)\sqrt{2x-1}dx\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến