d có vtpt u → = ( 2 ; − 3 ; 1 ) , \overrightarrow{u}=(2;-3;1), u = ( 2 ; − 3 ; 1 ) , H ( − 2 ; 4 ; − 1 ) H(-2;4;-1) H ( − 2 ; 4 ; − 1 )
(P) có vtpt n → = ( A ; B ; C ) , ( A 2 + B 2 + C 2 > 0 ) \overrightarrow{n}=(A;B;C),(A^{2}+B^{2}+C^{2}>0) n = ( A ; B ; C ) , ( A 2 + B 2 + C 2 > 0 )
d || (P) ⇔ { u → . n → = 0 H ( − 2 ; 4 ; − 1 ) o t i n ( P ) ⇔ { 2 A − 3 B + C = 0 − 3 A + 4 B − C e q 0 ⇔ { C = − 2 A + 3 B C e q 3 A − 4 B   ( ∗ ) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\\H(-2;4;-1) otin (P) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2A-3B+C=0\\-3A+4B-Ceq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C=-2A+3B\\Ceq 3A-4B\; (*) \end{matrix}\right. ⇔ { u . n = 0 H ( − 2 ; 4 ; − 1 ) o t i n ( P ) ⇔ { 2 A − 3 B + C = 0 − 3 A + 4 B − C e q 0 ⇔ { C = − 2 A + 3 B C e q 3 A − 4 B ( ∗ )
( P ) : { q u a   K ( 1 ; 0 ; 0 ) v t p t   n → = ( A ; B ; − 2 A + 3 B ) ⇒ ( P ) : A x + B y + ( 3 B − 2 A ) z − A = 0 (P):\left\{\begin{matrix} qua\; K(1;0;0)\\vtpt\;\overrightarrow {n}=(A;B;-2A+3B) \end{matrix}\right.\Rightarrow (P):Ax+By+(3B-2A)z-A=0 ( P ) : { q u a K ( 1 ; 0 ; 0 ) v t p t n = ( A ; B ; − 2 A + 3 B ) ⇒ ( P ) : A x + B y + ( 3 B − 2 A ) z − A = 0
d ( M ; ( P ) ) = 3 ⇒ ∣ − 5 A + 8 B ∣ A 2 + B 2 + ( 3 B − 2 A ) 2 = 3 d(M;(P))=\sqrt{3}\Rightarrow \frac{\left | -5A+8B \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+(3B-2A)^{2}}}=\sqrt{3} d ( M ; ( P ) ) = 3 ⇒ A 2 + B 2 + ( 3 B − 2 A ) 2 ∣ − 5 A + 8 B ∣ = 3
⇔ ( − 5 A + 8 B ) 2 = 3 ( 5 A 2 − 12. A B + 10 B 2 ) ⇔ 5 A 2 − 22. A B + 17 B 2 = 0 ⇔ [ A = B 5 A = 17 B \Leftrightarrow (-5A+8B)^{2}=3(5A^{2}-12.AB+10B^{2})\Leftrightarrow 5A^{2}-22.AB+17B^{2}=0\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} A=B\\5A=17B \end{matrix} ⇔ ( − 5 A + 8 B ) 2 = 3 ( 5 A 2 − 1 2 . A B + 1 0 B 2 ) ⇔ 5 A 2 − 2 2 . A B + 1 7 B 2 = 0 ⇔ [ A = B 5 A = 1 7 B
+ Với A = B ⇒ C = B không thỏa mãn (*)
+ Với 5A = 17B ⇒ Chọn A = 17 ta có B = 5 ⇒ C = -19 thỏa mãn (*)
Suy ra phương trình mặt phẳng (P): 17x + 5y - 19z - 17 = 0
