Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC = 2a,BD = 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

haonguyen2308

5 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 8722 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

lekhachoai123

Gọi \(O=AC\cap BD,H\) là trung điểm của AB, suy ra \(SH\perp AB\).
Do \(AB=(SAB)\cap (ABCD)\) và \((SAB)\perp (ABCD)\) nên \(SH\perp (ABCD)\)
Ta có \(OA=\frac{AC}{2}=\frac{2a}{2}=2a\)
\(OB=\frac{BD}{2}=\frac{4a}{2}=2a\)
\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}\)

+) \(SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}2a.4a=4a^2\)
Thể tích khối chóp SABCD là \(V=\frac{1}{3}=SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{15}}{2}.4a^2=\frac{2a^3\sqrt{15}}{3}\)
Ta có BC // AD nên AD // (SBC) \(\Rightarrow d(AD,SC)=d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))\)
Do H là trung điểm của AB và B \(=AH\cap (SBC)\) nên \(d(A,(SBC))=2d(H,(SBC))\)
Kẻ \(HE\perp BC,H\in BC\), do \(SH\perp BC\) nên \(BC\perp (SHE)\)
Kẻ \(HK\perp SE,K\in SE\), ta có \(BC\perp HK\Rightarrow HK\perp (SBC)\Rightarrow HK=d(H,(SBC))\)
\(HE=\frac{2S_{BCH}}{BC}=\frac{S_{ABCD}}{2.AB}=\frac{4a^2}{2a\sqrt{5}}\)
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HE^2}+\frac{1}{SH^2}=\frac{5}{4a^2}+\frac{4}{15a^2}=\frac{91}{60a^2}\)
\(\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{91}}=\frac{2a \sqrt{1365}}{91}\)
Vậy \(d(AD,SC)=2HK=\frac{4a \sqrt{1365}}{91}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(y=x^4-4x^2+3\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm m để phương trình \(\left |x^4-4x^2+3 \right |=m\)có 4 nghiệm phân biệt

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Giải bất phương trình \(2^{2x+1}< \left ( \frac{1}{8} \right )^{\frac{x^2-1}{3}}\)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(9(a^{4}+b^{4}+c^{4})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+48=0.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^{2}}{b+2c}+\frac{b^{2}}{c+2a}+\frac{c^{2}}{a+2b}.\)

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho hàm số \(y=x^3-3mx^2+(m^2-1)x+2,\) m là tham số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Cứu với mọi người!

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, CD

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = AC = SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SI, AC.

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, AD = 2a. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SAD. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD).

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Tính tích phân \(I = \int_{0}^{\pi} (2x - 1) \sin xdx\)

Chứng minh rằng phương trình \(4^x(4x^2+1)=1\) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Cho hàm số \(\small y=-2x^3+6x^2-5\)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(-1;-13)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến