Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \(2(a^2+b^2)=a^2.b^2\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2++1}}\)

Phanngocquy6

5 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 457 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

linh5120

Ta có: \(a^2b^2=2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Rightarrow ab\geq a+b\)
Do đó: \(a^2+b^2+1=(a+b)^2-2ab+2\leq (a+b)^2-2(a+b)+1=(a+b-1)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+1}\leq \left | a+b-1 \right |\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+1}}\geq \frac{1}{\left | a+b-1 \right |}\)
\(\Rightarrow 4\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=\frac{a+b+1}{b+1}+\frac{a+b+1}{a+1}-2\)
\(=(a+b+1)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})-2\)
\(\geq (a+b+1)\frac{4}{a+b+2}-2\)
Vậy \(P \geq (a+b+1).\frac{4}{a+b+2}+\frac{1}{\left | a+b-1 \right |}-2\)
Đặt \(t =a+b\). Ta có: \((a+b)^2\geq 4ab\geq 4(a+b)\Rightarrow a+b\geq 4\Rightarrow t\geq 4\)
Ta được \(P\geq \frac{4t+4}{t+2}+\frac{1}{t-1}-2=f(t)\)
Ta có: \(f'\(t)=\frac{4}{(t+2)^2}-\frac{1}{(t-1)^2}=\frac{3t(t-4)}{(t+2)^2(t-1)^2}\geq 0\) với mọi \(t\geq 4\)
Do đó f(t) tăng trên \([4;+\infty )\Rightarrow f(t)\geq f(4)=\frac{5}{3}.\) Vậy \(Min P=\frac{5}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh AC = a , BC =\(a \sqrt{5 }\). Mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy và tam giác SAB đều. Gọi K điểm thuộc cạnh SCsao cho SC=3SK. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BK theo a .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;4), B(1;0;0). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB và tìm điểm M trên tia Oy sao cho \(MA=MB\sqrt{13}\).

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với BC = 2a , góc ABC = 600. Gọi M là trung điểm BC. Biết SA = SC = SM = \(a\sqrt{5}\) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.

Tìm 1 nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{sinx}{(1-cosx)^2}\) biết rằng \(F(\frac{\pi}{2})=1\)
Với F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=x^4-2x^2\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+8x-8y=3x^2-3y^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (5x^2-5y+10)\sqrt{y+7}+(2y+6)\sqrt{x+2}=x^3+13y^2-6x+32 \end{matrix}\right.\)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\)

Cứu với mọi người!

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, \(\widehat{ABC}\) = 1200 , AB = a, SB vuông góc mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng 450. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của SM. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABN).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến