Cho x, y là các số thực sao cho \(1\leq x\leq 2,\ 3\leq y\leq 4\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^2+y^2-4x-6y+\frac{x^8+y^8}{x^4y^4}-\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

haokamenrider

6 năm trước

Cho x, y là các số thực sao cho \(1\leq x\leq 2,\ 3\leq y\leq 4\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=x^2+y^2-4x-6y+\frac{x^8+y^8}{x^4y^4}-\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 327 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

vohongphuc

\(P=(x-2)^2+(y-3)^2+\left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )-\left ( \frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{x^2}\right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )-13\)
Do \((x-2)^2\geq 0\) và \((y-3)^2\geq 0\) nên ta có
\(P\geq \left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )-\left ( \frac{x^2}{y^2} +\frac{y^2}{x^2}\right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )-13\)
Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\). Khi đó \(t^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

\(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )^2-2=(t^2-2)^2-2=t^4-4t^2+2\)
Vậy \(P\geq t^4-5t^2+t-9=f(t)\)
* Bây giờ ta tìm điều kiện của t?
Do \(1\leq x\leq 2,3\leq y\leq 4\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1\leq x\leq 2\\ \frac{1}{4}\leq \frac{1}{y}\leq \frac{1}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{x}{y}\leq \frac{2}{3}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=u\), ta có \(t=u+\frac{1}{u},u\in \left [ \frac{1}{4} ;\frac{2}{3}\right ]\)

\(t'(u)=1-\frac{1}{u^2}\Rightarrow t'< 0, \forall \ u \ \in \left [ \frac{1}{4} ;\frac{2}{3}\right ]\)
Vậy \(t\left ( \frac{2}{3} \right )\leq t\leq t\left ( \frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow \frac{13}{6}\leq t\leq \frac{17}{4}\)
Ta khảo sát hàm số \(f'(t)=t^4-5t^2+t-9, t\in \left [ \frac{13}{6};\frac{17}{4} \right ]\)
\(f'(t)=4t^3-10t+1=4t(t^2-4)+6t+1> 0, \forall t\in \left [ \frac{13}{6};\frac{17}{4} \right ]\)
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên \(\left [ \frac{13}{6};\frac{17}{4} \right ]\)
Nên ta có \(f(t)\geq f\left ( \frac{13}{6} \right )=-\frac{10715}{1296}\). Vậy ta có:
\(P\geq f(t)\geq -\frac{10715}{1296}\). Đẳng thức xảy ra \(\left\{\begin{matrix} x=2,y=3\\ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{13}{6} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2, y=3\)
Kết quả \(min P=-\frac{10715}{1296}\) với x = 2, y = 3

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;-3) và mặt phẳng (P) có phương trình \(2x + 2y - z + 9 = 0\). Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) . Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) .

Help me!

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(M=\frac{3a^4+3b^4+25c^3+2}{(a+b+c)^3}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;2), B(2; -2;1), C( -2;0;1) và mặt phẳng (P): 2x+2y+z-3=0. Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho M cách đều ba điểm A, B, C.

Cho hàm số \(y=x^{4}+(m-3)x^{2}+2-m\; (1),\) với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Giải phương trình

\(\log _{8}(12-8x)^{3}+\log _{\sqrt[3]{2}}x=2+\log _{2}(2x^{2}-3x+2),x\in R\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Viết phương trình (P) đi qua A(1;2;-1) đồng thời vuông góc với 2 mặt phẳng \((\alpha ): 2x-y+3z-1=0; \ \ (\beta ):x+y+z-2=0\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải phương trình: \(\small 3log_3^2(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})+2log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}).log_3(9x^2)+ \left ( 1- log_{\frac{1}{3}}x\right )=0\)

Tính tích phân: \(I=\int_{1}^{e}\left ( \frac{\sqrt{3+lnx}}{x}+2lnx \right )dx\)

Giải phương trình sau trên tập số thực: \(log_3^2x-log_9(9x^2)-1=0\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức \(T=A(1+r)^n\), trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là số kỳ hạn gửi. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến