1.
Khi m = -2 hàm số có dạng: \(y=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x-4\)
+ Tập xác định: D = R
+ Khảo sát sự biến thiên:
Các giới hạn: \(\lim _{x\rightarrow -\infty}\left ( \frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x-4 \right )=-\infty; \lim _{x\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-3x-4 \right )=+\infty\)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Sự biến thiên: \(y'=x^{2}+2x-3,\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow \big \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-3 \end{matrix}\)
Với \(x=1\Rightarrow y=-\frac{17}{3};x=-3\Rightarrow y=5\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-3),(1;+\infty)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3; 1).
Hàm số có hai cực trị: \((-3;5),(1;-\frac{17}{3}).\)
+ Đồ thị:
Đồ thị hàm số đi qua (0; -4).
2.
Ta có: \(y'=x^{2}-2(m+1)x+m^{2}-7\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^{2}-2(m+1)x+m^{2}-7=0\; \; \; \; (1)\)
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow (m+1)^{2}-(m^{2}-7)>0\Leftrightarrow m>-4\; \; (*)\)
Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị x1; x2 là nghiệm của (1) nên thỏa mãn: \(\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2(m+1)\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x_{1}x_{2}=m^{2}-7 \end{matrix}\right.\; \; \; (I)\)
Với \(x_{1}=3x_{2}\) thế vào \((I)\) ta được:
\(\left\{\begin{matrix} 4x_{2}=2(m+1)\\ 3x_{2}^{2}=m^{2}-7 \end{matrix}\right.\Rightarrow 3\left ( \frac{m+1}{2} \right )^{2}=m^{2}-7\)
\(\Leftrightarrow m^{2}-6m-31=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} m=3+2\sqrt{10}\\ m=3-2\sqrt{10} \end{matrix}\) (thỏa mãn điều kiện \((I)\)).
Vậy \(m=3 \pm 2\sqrt{10}\) là giá trị cần tìm.
