Phương trình đường thẳng Δ: y = k (x – 1) + 4 Δ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt.
\(-x^{3}+3x^{2}+2=k(x-1)+4\)
\(\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+k(x-1)+2=0\) (1)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}-2x+k-2)=0\)
\(\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix}x=1 \\ x^{2}-2x+k-2=0 \end{matrix}\)
PT (1) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow PT x^{2}-2x+k-2=0\) (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta '=1-(k-2)> 0 \\ 1-2+k-2eq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow k< 3\)
Gọi \(x_{B};x_{D}\) là nghiệm của PT (2). Theo hệ thức Vi ét ta có: \(x_{B}+x_{D}=2\) (*)
Ta có \(y'=-3x^{2}+6x.\) Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại các điểm B, D là:
\(k_{B}=y'(x_{B})=-3x_{B^{2}}+6x_{B}\)
\(k_{D}=y'(x_{D})=-3x_{D^{2}}+6x_{D}\)
Sử dụng kết quả (*) ta có: \(k_{B}-k_{D}=-3(x_{B^{2}}-x_{D^{2}})+6(x_{B}-x_{D})\)
\(=-3(x_{B}-x_{D})(x_{B}+x_{D}-2)=0\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại 2 điểm B và D bằng nhau.
