Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs! Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^2}{(1-a)^2+5bc}+\frac{16b^2-27(a+bc)^2}{36(a+c)^2}\)

hoa07072003

6 năm trước

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{(1-a)^2+5bc}+\frac{16b^2-27(a+bc)^2}{36(a+c)^2}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 310 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Hohaiht

Ta có: \(P=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{16b^2-27\left [ a(a+b+c) +bc\right ]^2}{36(a+c)^2}\)
\(=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{16b^2-27\left [ (a+b)(a+c) \right ]^2}{36(a+c)^2}\) \(=\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\frac{4b^2}{9(a+c)^2}-\frac{3}{4}(a+b)^2\)

Ta lại có \(\frac{a^2}{(b+c)^2+5bc}\geq \frac{a^2}{(b+c)^2+\frac{5}{4}(b+c)^2}=\frac{4a^2}{9(b+c)^2}\)
\(P\geq \frac{4a^2}{9(b+c)^2}+\frac{4b^2}{9(a+c)^2}-\frac{3}{4}(a+b)^2\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c}\right )^2-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
\(\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc} \right )-\frac{3}{4}(a+b)^2\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{(a+b)^2}{ab+ac+ba+bc} \right )-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
\(\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{(a+b)^2}{2ab+(a+b)c} \right )^2-\frac{3}{4}(a+b)^2\geq \frac{9}{2}\left ( \frac{(a+b)^2}{\frac{(a+b)^2}{2}+(a+b)c} \right )-\frac{3}{4}(a+b)^2\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{2}{9}\left ( \frac{(1-c)^2}{\frac{(1-c)^2}{2}+(1-c)} \right )-\frac{3}{4}(1-c)^2=\frac{8}{9}\left ( \frac{1-c}{1+c} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
Ta có \(\frac{9}{8}\left ( \frac{1-c}{1+c} \right )^2-\frac{8}{9}(1-\frac{2}{1+c})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{8}{9}(1-\frac{2}{1+c})^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
Theo giả thiết a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 \(\Rightarrow c\in (0;1)\)
Xét hàm số \(f(c)=\frac{8}{9}\left ( 1-\frac{2}{1+c} \right )^2-\frac{3}{4}(1-c)^2\)
Ta có \(f'(c)=\frac{16}{9}\left ( 1-\frac{2}{c+1} \right )\frac{2}{(c+1)^2}-\frac{3}{2}(c-1)\)
\(f'(c)=0\Leftrightarrow \frac{32}{9}(c-1)\left ( \frac{1}{c+1}-\frac{27}{64} \right )=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}\) vì \(c\in (0;1)\)
Bảng biến thiên

Từ BBT \(\Rightarrow f(c)\geq -\frac{1}{9},\forall c\in (0;1)\). Do đó \(P\geq -\frac{1}{9}\)
Vậy \(MinP=-\frac{1}{9}\) giá trị nhỏ nhất đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z\leq \frac{3}{2}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}\)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x-1\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (3;5;1) , N(- 3;-1;4) và đường thẳng \(d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{6}\). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN; chứng tỏ M, N và đường thẳng d đồng phẳng và tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng MN với đường thẳng d.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} xy(x+1) = x^3+y^2+x-y \hspace{4 cm}\\ 3y(2+\sqrt{9x^2+3}) + (4y+2)(\sqrt{1+x+x^2} + 1) = 0 \end{matrix}\right.\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tính tích phân sau \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(2+sin2x)dx\)

Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 6x + 1\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(\left( d \right):y = - 4x - 11\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;3;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + 2z – 1 =0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ của tiếp điểm.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có diện tích các mặt ABCD, ADD'A', CDD'C' lần lượt là 15,20,12. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp đó là ?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAC bằng. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 2HB. Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng (ABCD) góc với O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.

Help me!

Cho hàm số \(y=\frac{3-2x}{x-1}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường \(\Delta :y=-x+1\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến