a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
+ Tập xác định: D = R
+ Sự biến thiên:
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((- \infty;-1)\), \((1;+ \infty)\) , và nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) .
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\), \({y_{CD }} = 5\) , và đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT }} = -3\).
Đồ thị:
Điểm uốn: \(y'' = 12x\)
\(y'' = 12x \Rightarrow y'' = 0 \Leftrightarrow 12x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) \(\Rightarrow y = 1\)
Suy ra \(I\left( {0;1} \right)\) là điểm uốn của đồ thị.
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
\($2{x^3} - 6x + 1 = - 4x - 11 \Leftrightarrow 2{x^3} - 2x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm.
Ta có \({x_0} = - 2 \Rightarrow {y_0} = - 3\)
\(y'\left( {{x_0}} \right) = y'\left( { - 2} \right) = 6.{\left( { - 2} \right)^2} - 6 = 18\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y = y'\left( {x{ & _0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 18x + 33\)
