Bài này phải làm sao mọi người? Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z\leq \frac{3}{2}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}\)

Sóc lóc cóc

6 năm trước

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z\leq \frac{3}{2}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 549 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

maihungquang2k

Biến đổi biểu thức P, ta có:
\(P=\frac{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2}{y+\frac{1}{z}}+\frac{\left ( y+\frac{1}{z} \right )^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left ( z+\frac{1}{x} \right )^2}{x+\frac{1}{y}}\)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c \ (a,b,c>0)\) (1)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\frac{a^2}{b}+b\geq 2a,\frac{b^2}{c}+c\geq 2b,\frac{c^2}{a}+a\geq 2c\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\)
Sử dụng (1) ta suy ra:
\(P\geq \left ( x+\frac{1}{y} \right )+\left ( y+\frac{1}{z} \right )+\left ( z+\frac{1}{x} \right )=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=Q\)
Tiếp tục đánh giá Q, ta có: \(Q \geq 3\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\), ta có \(0 Khi đó: \(Q\geq 3t+\frac{3}{t}=12t+\frac{3}{t}-9t=\frac{15}{2}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{15}{2}\) khi đạt \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x-1\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (3;5;1) , N(- 3;-1;4) và đường thẳng \(d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{6}\). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN; chứng tỏ M, N và đường thẳng d đồng phẳng và tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng MN với đường thẳng d.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} xy(x+1) = x^3+y^2+x-y \hspace{4 cm}\\ 3y(2+\sqrt{9x^2+3}) + (4y+2)(\sqrt{1+x+x^2} + 1) = 0 \end{matrix}\right.\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tính tích phân sau \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(2+sin2x)dx\)

Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 6x + 1\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(\left( d \right):y = - 4x - 11\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;3;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + 2z – 1 =0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ của tiếp điểm.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có diện tích các mặt ABCD, ADD'A', CDD'C' lần lượt là 15,20,12. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp đó là ?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAC bằng. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 2HB. Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng (ABCD) góc với O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a.

Help me!

Cho hàm số \(y=\frac{3-2x}{x-1}\)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường \(\Delta :y=-x+1\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(3; 0; -4) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến