Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \leq 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{4x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\frac{1}{y^2}}-(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1})\)

nguyentranthuphuong1007

6 năm trước

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 361 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

shmily

+ Gọi \(M = \sqrt{4x^2+\frac{1}{x^2}}+ \sqrt{4y^2+\frac{1}{y^2}}\)
Ta có: \(M \geq \frac{1}{\sqrt{5}}(2x+\frac{2}{x})+\frac{1}{\sqrt{5}}(2y+\frac{2}{y})=\frac{2}{\sqrt{5}}(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\) (Theo Cauchy – Schwarz)
\(\frac{4}{\sqrt{5}}(\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}})=\frac{4}{\sqrt{5}}(4\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}-\sqrt{xy})\) (The BĐT AM –GM)
\(\geq \frac{4}{\sqrt{5}}\left ( 2\sqrt{4\sqrt{xy\frac{1}{xy}}}-\frac{3}{2} \right )=2\sqrt{5}\) (do giả thiết)
Suy ra \(M\geq 2\sqrt{5}\) (1)
+ Gọi \(N = \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}\)
Ta có: \(N = \frac{x}{(x^2+1)+\frac{3}{4}}+\frac{y}{(y^2+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}}\leq \frac{x}{x+\frac{3}{4}}+\frac{y}{y+\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3}\)
Hơn nữa: \(=\frac{4x}{4x+3}+\frac{4y}{4y+3}=2-3\left ( \frac{1}{4x+3}+\frac{1}{4y+3} \right )\leq 2-3\frac{4}{4x+4y+6}\)
\(= 2-3.\frac{4}{10}=\frac{4}{5}\)
Do đó \(-N\geq -\frac{4}{5}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(P\geq 2\sqrt{5}-\frac{4}{5}\)
Khi \(x=y=\frac{1}{2}\) thì \(P=2\sqrt{5}-\frac{4}{5}\). Vậy Min \(P=2\sqrt{5}-\frac{4}{5}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, AD=a\(\sqrt{3}\). Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a^2}{(1-a)^2+5bc}+\frac{16b^2-27(a+bc)^2}{36(a+c)^2}\)

Bài này phải làm sao mọi người?

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z\leq \frac{3}{2}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}\)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x-1\)

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (3;5;1) , N(- 3;-1;4) và đường thẳng \(d:\frac{x-2}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{6}\). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN; chứng tỏ M, N và đường thẳng d đồng phẳng và tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng MN với đường thẳng d.

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} xy(x+1) = x^3+y^2+x-y \hspace{4 cm}\\ 3y(2+\sqrt{9x^2+3}) + (4y+2)(\sqrt{1+x+x^2} + 1) = 0 \end{matrix}\right.\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tính tích phân sau \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(2+sin2x)dx\)

Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 6x + 1\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(\left( d \right):y = - 4x - 11\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;3;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + 2z – 1 =0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là A và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ của tiếp điểm.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có diện tích các mặt ABCD, ADD'A', CDD'C' lần lượt là 15,20,12. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp đó là ?

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến