a. + TXĐ: R \ {1}

+ Sự biến thiên:

\(y'=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{(x-1)^{2}}\)

\(y'>0\; \; \forall xeq 1\Rightarrow\) hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ;1)\) và \((1;+\infty )\)

\(\lim _{x\rightarrow 1^{+}}y=-\infty ;\lim _{x\rightarrow 1^{-}}y=+\infty \Rightarrow\) Tiệm cận đứng là: x = 1

\(\lim _{x\rightarrow +\infty }y=1 ;\lim _{x\rightarrow -\infty }y=1\Rightarrow\) Tiệm cận ngang là: y = 1

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị (Lấy đủ các điểm, vẽ tiệm cận đứng, ngang đúng, điền đủ)

Học sinh tự vẽ hình

b. + Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{x-2}{x-1}=m+1-x\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-(m+1)x+m-1=0\; \; (1)\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! xeq 1 \end{matrix}\right.\)

+ Đường thẳng d cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B \(\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(eq\) 1

\(\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\Delta >0\\1^{2}-(m+1).1+m-1eq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2}-2m+5>0\\\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \!-1eq 0 \end{matrix}\right.\; \; \forall m\)

+ Gọi \(A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2})\) là các giao điểm \(\Rightarrow\) \(x_{1};x_{2}\) là các nghiệm của phương trình (1) và \(y_{1}=m+1-x_{1};y_{2}=m+1-x_{2}\)

+ \(AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(-x_{2}+x_{1})^{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}}\)

\(\sqrt{2}\sqrt{(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(m+1)^{2}-4(m-1)}=\sqrt{2}\sqrt{m^{2}-2m+5}\) (do \(\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m+1\\x_{1}-x_{2}=m-2 \end{matrix}\right.\))

\(AB=2\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\sqrt{m^{2}-2m+5}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow m^{2}-2m+5=4\Leftrightarrow m^{2}-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\)

+ KL: Vậy m = 1 thì d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn \(AB=2\sqrt{2}\)