Cứu với mọi người! Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3.Tim giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=(x+y+z)^2-\frac{x^3+y^3+z^3}{9xyz}+\frac{3}{xy+yz+zx}\)

LamBinh

6 năm trước

Cứu với mọi người!

Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3.Tim giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=(x+y+z)^2-\frac{x^3+y^3+z^3}{9xyz}+\frac{3}{xy+yz+zx}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 942 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

leducanh2610

Ta có \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\Rightarrow (x+y+z)^2=3+2(xy+yz+zx)\)

lại có \(x^3+y^3+z^3=(x+y+z)\left [ x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx) \right ]+3xyz\)
\(=(x+y+z)\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]+3xyz\) nên \(\frac{x^3+y^3+z^3}{9xyz}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\left ( \frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy} \right )\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(\left\{\begin{matrix} xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2.y^2.z^2}\\ \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2.y^2.z^2}} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{9}{xy+yz+zx}\)
Suy ra \(\frac{x^3+y^3+z^3}{9xyz}\geq \frac{1}{3}+\left ( \frac{1}{xy+yz+zx} \right )\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]\)
Từ đó ta có
\(P\leq 3+2(xy+yz+zx)-\frac{1}{3}-\left (\frac{1}{xy+yz+zx} \right )\left [ 3-(xy+yz+zx) \right ]\)\(+\frac{3}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{11}{3}+2(xy+yz+zx)\)
do \(0 Từ đó suy ra GTLN của P là \(\frac{29}{3}\) đạt khi \(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=3\\ xy=yz=xz\\ xy+yz+zx=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}(m-1)x^2-mx+\frac{1}{3}\) (1) là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
b) Tìm để hàm số (1) có cực đại là yCĐ thỏa mãn yCĐ = \(\frac{1}{3}\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin2x}{2+cosx}dx\)

Giải bất phương trình: \(log_2(x-2)+log_{0,5}x< 1\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Viết phương trình (P) đi qua A(1;2;-1), B(2;1;0) và tạo với (Oxy) góc 600

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Giải phương trình
\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+4+2\sqrt{3+4x-4x^2}=\frac{1}{4}(4x^2-4x+3)(2x-1)^2\) trên tập số thực.

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(x+2+tan^2x)sinxdx\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Tính tích phân \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=17(a+b+c)-2ab\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a+b+c+243\left ( \frac{3}{\sqrt{2a+67}} +\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\right )\)

Trong không gian cho bốn điểm \(A(0;0;-1), B(1;2;1), C(2;1;-1), D(3;3;-3)\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB và điểm N thuộc trục hoành sao cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD và độ dài MN = 3.

Cứu với mọi người!

Cho hình chóp S.ABCD có \(S(3;3;\frac{13}{2}), A(1;2;3),B(-1;4;6),C(2;1;10), D(4;-1;7)\)
a) CMR: ABCD là hình chữ nhật, \(SI\perp (ABCD)\) với I là giao điểm AC, BD
b) Tính VS.ABCD

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến