Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x\geq y\geq z\geq 0\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)

Quynhanh

6 năm trước

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện \(\left\{\begin{matrix} x\geq y\geq z\geq 0\\ x^2+y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=2xy+8yz+5zx+\frac{10}{x+y+z}\)

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 1017 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Khanh0000

Ta có: \(P=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)+6yz+3zx-3+\frac{10}{x+y+z}\)
\(P=(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3+3z(2y+x)\)
Đặt
\(M=3z(2y+x)\Rightarrow P=(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3+M\)
Ta có: \(M\geq 0 \ \ (1). Do \ x\geq y\geq z\geq 0\)
Theo Cauchy:
\(\sqrt{3z(2y+x)}\leq \frac{3z(2y+x)}{2}=\frac{2z+2y+x+z}{2}\leq \frac{2z+2y+x+x}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3z(2y+x)}\leq x+y+z\Leftrightarrow \sqrt{M}\leq x+y+z \Leftrightarrow M\leq (x+y+z)^2 \ \ (2)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(0\leq M\leq (x+y+z)^2\)
Suy ra: \((x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3\leq P\leq 2(x+y+z)^2+\frac{10}{x+y+z}-3\)
Đặt t = x + y + z
Ta có:
\(t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geq x^2+y^2+z^2=3\Leftrightarrow t^2\geq 3\Leftrightarrow t\geqslant \sqrt{3}\)
Mặt khác ta có:
\(xy+yz+zx\leq x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow t^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\leq 3(x^2+y^2+z^2)=9\Leftrightarrow t\leq 3\)
Suy ra \(\sqrt{3}\leq t\leq 3\)
Do đó ta có:
\(t^2+\frac{10}{t}-3\leq P\leq 2t^2+\frac{10}{t}-3\) với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Xét hàm số: \(f(t)=t^2+\frac{10}{t}-3\) với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Ta có: \(f'(t)=2t-\frac{10}{t^2}=\frac{2(t^3-5)}{t^2}>0;\forall \in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến trên đoạn \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Do đó ta có: \(P\geq f(t)\geq f(\sqrt{3})=\frac{10}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow MinP=\frac{10}{\sqrt{3}}\) đạt được khi \(x=\sqrt{3};y=z=0\)

Xét hàm số: \(g(t)=2t^2+\frac{10}{t}-3\)với \(t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Ta có: \(g'(t)=4t-\frac{10}{t^2}=\frac{2(2t^3-5)}{t^2}> 0;\forall \in\) \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)

Suy ra hàm số g(t) luôn đồng biến trên đoạn \(\left [ \sqrt{3};3 \right ]\)
Do đó ta có: \(P\leq g(t)\leq g(3)=\frac{55}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{55}{3}\) đạt được khi x = y = z = 1

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(\frac{4a}{b}\left ( 1+\frac{2c}{b}\right )+\frac{b}{a}\left ( 1+\frac{c}{a} \right ) =6\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{bc}{(a(b+2c))}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}\)

Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa \(x^2+y^2=2\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2(x^3+y^3)-3xy\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có các cạnh AB=2a,AD=a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = \(\frac{a}{2}\), cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC theo a.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x^3-3x\)

Giải phương trình: \(8\log _{4}\sqrt{x^{2}-9}+3\sqrt{2\log _{4}(x+3)^{2}}=10+\log _{2}(x-3)^{2}\)

Bài này phải làm sao mọi người?

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y - 2z - 1 = 0 và hai điểm A(2;0;0), B(3;-1;2). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I thuộc mặt phẳng (P) và đi qua cácđiểm A, B và điểm gốc toạ độ O.

Xét 3 số thực x ,y , z thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3-3xyz=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^{3}-3x+2\) trên đoạn [0; 2]

Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 2a, AB = a. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, SB.

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Tính tích phân \(I = \int_{1}^{2} \frac{x^3 - 2 \ln x}{x^2} dx\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến