1) Vì các tam giác SDC và SBC vuông tại C
$\text{=> SC ⊥ DC; (1)}$
$\text{SC ⊥ CB; (2)}$
$\text{Từ (1) và (2) => SC ⊥ (ABCD)}$
.
$\text{2) Theo như trên ta có: SC ⊥ (ABCD)}$
$\text{mà BD ∈ (ABCD)}$
$\text{=> SC ⊥ BD (3)}$
$\text{Vì ABCD là hình vuông}$
$\text{=> 2 đường chéo vuông góc với nhau}$
$\text{=> BD ⊥ AC (4)}$
$\text{Từ (3) và (4) => BD ⊥ (SAC)}$
$\text{mà SA ∈ (SAC)}$
$\text{=> BD ⊥ SA}$
.
$\text{3) Gọi giao điểm của AC và BD là O}$
$\text{ta có hình chiếu của B xuống (SAC) là O ( do DB ⊥ AC đã chứng minh ở trên)}$
$\text{=> góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) = $\widehat{BSO}$}$
$\text{Xét tam giác SCB vuông tại C ta có:}$
$\text{Theo định lý pitago:}$
$\text{$SB = \sqrt[]{SC^2+CB^2}=\sqrt[]{(a √ 2)^2+a^2}=\sqrt[]{3a^2}=a\sqrt[]{3}$}$
$\text{Vì BD là đường chéo hình vuông nên $BD = a\sqrt[]{2}$ }$
$\text{Ta có $BO = \dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt[]{2}}{2}$ }$
$sin \widehat{BSO} = \dfrac{BO}{SB}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt[]{2}}{2}}{a\sqrt[]{3}} =\dfrac{a\sqrt[]{2}}{2a\sqrt[]{3}}=\dfrac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{3}}$
=> $\widehat{BSO}=arcsin\dfrac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{3}}$
hay góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là $arcsin\dfrac{\sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{3}}$
