Câu 3:
2) $(I)\begin{cases}(m-1)x-my=3m-1\,\,(1)\\2x-y=m+5\,\,(2)\end{cases}$
Từ phương trình (2) $\Rightarrow y=2x-m-5\,\,(*)$
Thay $(*)$ vào phương trình (1) ta được:
$(m-1)x-m(2x-m-5)=3m-1$
$⇔mx-x-2xm+m^2+5m-3m+1=0$
$⇔mx-x-2xm=-m^2-2m-1$
$⇔x(m-1-2m)=-m^2-2m-1$
$⇔x(-m-1)=-m^2-2m-1$ (3)
Để hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất
$⇔$ Phương trình (3) có nghiệm duy nhất
$⇔-m-1\neq0$
$⇔m\neq-1$
Từ phương trình (3)
$\Rightarrow x=\dfrac{-m^2-2m-1}{-m-1}=\dfrac{m^2+2m+1}{m+1}=\dfrac{(m+1)^2}{m+1}=m+1$
Thay $x=m+1$ vào $(*)$ ta được:
$y=2(m+1)-m-5$
$⇔y=2m+2-m-5$
$⇔y=m-3$
Hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(m+1;m-3)$
Để $x^2+2y=0$
$⇔(m+1)^2+2(m-3)=0$
$⇔m^2+2m+1+2m-6=0$
$⇔m^2+4m-5=0$
$⇔m^2-m+5m-5=0$
$⇔m(m-1)+5(m-1)=0$
$⇔(m-1)(m+5)=0$
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\m+5=0\end{array} \right.\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=1(tmdk\,\,\,m\neq-1)\\m=-5(tmdk\,\,\,m\neq-1)\end{array} \right.\)
Vậy với $m=1$ hoặc $m=-5$ thì hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất $(x;y)$ thỏa mãn $x^2+2y=0$.
