Câu 33
Ta có
$\underset{x \to +\infty}{\lim} (ax + b - \sqrt{x^2 - 2x + 4}) = \underset{x \to +\infty}{\lim} \dfrac{a^2x^2 + b^2 +2abx - (x^2 - 2x + 4)}{ax + b + \sqrt{x^2 - 2x + 4}}$
$= \underset{x \to +\infty}{\lim} \dfrac{(a^2-1)x^2 + (2ab + 2)x + b^2 - 4}{ax + b + \sqrt{x^2 - 2x + 4}}$
$= \underset{x \to +\infty}{\lim} \dfrac{(a^2-1)x + (2ab + 2) + \frac{b^2 - 4}{x}}{a + \frac{b}{x} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \dfrac{4}{x^2}}}$
Ta thấy giới hạn đã cho bằng $4$, là hữu hạn, do đó bậc của đa thức ở mẫu và tử phải bằng nhau, do đó bằng 1. Vậy
$a^2 - 1 = 0$
$<-> a = \pm 1$
Khi đó, giới hạn trên trở thành $\dfrac{2ab + 2}{a+1}=4$. Do giới hạn hữu hạn nên mẫu khác 0. Do đó $a \neq -1$.
Vậy $a = 1$, từ đó suy ra
$\dfrac{2b + 2}{2} = 4$
$<-> 2b + 2 = 8$
$<-> b = 3$
Vậy $a + b = 1 + 3 = 4$
Đáp án A.
